Bonsoir,
en général l'union de (sous) espaces vectoriels n'est pas un (sous) espace vectoriel.

Bonsoir,

Ta question est assez mal formulée.  Si tu prends l'union de tous les sous-espaces vectoriels stricts d'un espace vectoriel de dimension >1, alors tu récupères sûrement l'espace tout entier.
Mais, si le corps de base est infini, l'union d'un nombre fini de sous-espaces vectoriels stricts n'est jamais l'espace tout entier.

Bonsoir

Citation :
Mais, si le corps de base est infini, l'union d'un nombre fini de sous-espaces vectoriels stricts n'est jamais l'espace tout entier.

Bonsoir WilliamM007.
Quand on parle de supplémentaires dans le cadre d'espaces vectoriel, il n'y a pas unicité du supplémentaire.
Et l'union n'est en général pas l'espace entier.

Si on parle du supplémentaire au sens ensembliste ce n'est jamais un sous-espace vectoriel.

je pense avoir compris maintenant comment cela est possible, c'est que je suis tombé sur un exercice, et dans l'exercice ils demandent de montrer que l'union des sev stricts n'est pas égale à l'espace vectoriel E, mais je ne parvient toujours pas à le montrer. Dans l'exercice, on me demande de commencer par le montrer dans le cas de deux sous espaces vectoriel, mais même là je ne sais pas ou commencer, est ce que je cherche à montrer que quelque soit   deux sev stricts de E, il existe des éléments de E qui ne sont pas dans ?

On peut prendre un exemple simple : dans les sous-espaces vectoriels de dimension 1 sont les droites vectorielles.
L'union d'un nombre fini de droites n'est pas égale au plan tout entier.

Ah oui effectivement j'ai raconté n'importe quoi

est ce que je peux dire que et ?

Bonjour,
Mon petit grain de sel et je disparais :
@Dodria;

Sujet ancien- ne plus donner ce lien-merci

Bonjour, je m'excuse vraiment, je suis nouveau dans cette plateforme, voici l'énoncé au complet:

Exercice 3300 E n'est pas union de sous-espaces stricts
Soit E un K-ev non nul et F₁,...,F_n des sev stricts de E. On veut montrer que E F₁ ∪··· ∪F_n :
1. Traiter le cas n = 2.
2. Cas général : on suppose Fn 6⊂ F₁ ∪··· ∪F_n−1 et on choisit x ∈ Fn \ (F₁ ∪··· ∪F_n−1) et y F_n.
(a) Montrer que : ∀ λ ∈ K, λx+y F_n.
(b) Montrer que : ∀ i n−1, il existe au plus un λ ∈ K tel que λx+y ∈ F_i
(c) Conclure.

j'était bloqué sur la première question, mais après j'ai essayé et suis arrivé à monter le cas de n = 2 de la manière suivante :
Soit deux sous espace vectoriels stricts de E, et soit tel que :    et  
   ceci montre que tel que   et donc

je remercie tout ceux qui ont met du temps pour m'assister avec ce problème.

Il y a des problèmes de logique dans ton truc. Si (l'énoncé ne l'interdit pas, tel que tu l'écris), tu es en train de prendre a et b dans l'ensemble vide. Aïe !

Si , tu peux effectivement prendre et , de sorte que n'appartienne ni à ni à , sinon alors que par hypothèse (et respectivement, ).


Pour la question 2), tu nous fais une rechute de non-sens. Si est inclus dans la réunion, alors le complémentaire de la réunion dans est vide...
Sinon, même principe, tu écris tes deux candidats, tu en fais la différence, tu regardes ce qu'il se passe et tu conclues à une contradiction

donc pour la 1er question il fallait dire :
si alors on a clairement car F1 et F2 sont deux sous-espace vectoriel stricts, sinon j'applique mon truc ?

Oui, évidemment

Ok, merci !