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sous espaces affines...

Posté par wedge (invité) 10-06-05 à 16:55

Dans un exo on me demandé de trouver 2 droites de R3 passant par (-1,0,1) et (0,1,2).
Après des calculs j'ai trouvé l'équation : - x - y + c = 0 et pour avoir la 2ieme équation j'ai juste multiplié par 2 les coeff de l'équation trouvé (-2x - 2y + 2c = 0) c'est juste ?

sinon dans un autre exo de td j'ai :
calculer l'intersection du plan d'équation x + 2y + 3z = 6 avec la droite passant par (1,0,1) et (0,1,0).

Je comprend pas bien la procédure à suivre dans la "correction" que j'ai et j'aimerai bien qu'on m'éxplique le raisonnement.

merci

Posté par
J-P Posteur d'énigmes
re : sous espaces affines... 10-06-05 à 17:24

1°)

Je suppose que ce sont les 2 équations définissant le droite passant les points de coordonnées (-1,0,1) et (0,1,2) que tu cherches et pas ce que tu as écrit.


La droite passe par le point de coordonnées (-1 ; 0 ; 1), on a donc:
(x+1) = y/A = (z-1)/B

La droite passe par le point de coordonnées (0 ; 1 ; 2) et donc:
(0+1) = 1/A = (2-1)/B

1 = 1/A = 1/B

A = B = 1

Equations de la droite:
x+1 = y
y = (z-1)

Il existe évidemment d'autres systèmes d'équations qui pourraient caractériser cette droite.
----------
2°)

Recherche des equations de la droite passant par les points de ccoordonnées (1 ; 0 ; 1 ) et (0 ; 1 ; 0)

(x-1)/A = y = (z - 1)/B

(0-1)/A = 1 = (0-1)/B

A = -1 et B = -1

Equations de la droite:
-(x-1) = y
y = -(z-1)

soit:
y = 1-x
y = 1-z

Pour trouver le point de percée de cette droite dans le plan d'équation x + 2y + 3z = 6, on résout le système:

x + 2y + 3z = 6
y = 1-x
y = 1-z

On trouve: x=2; y=-1 et z = 2

Le point cherché a pour coordonnées (2 ; -1 ; 2)
-----
Sauf distraction.  

Posté par Samourai (invité)re : sous espaces affines... 10-06-05 à 17:24

Pour le premier exercice : que viens faire c dans tes équations de droite ? Non il ne faut pas multiplier pour obtenir la seconde équation. Il refaire tous les calculs ( comee pour le premier point) mais en changeant de points.

Posté par Samourai (invité)re : sous espaces affines... 10-06-05 à 17:24

Bon j'ai rien dit. Je me suis fait grillé.

Posté par titimarion (invité)re : sous espaces affines... 10-06-05 à 17:25

Salut,
je pense que tu auras du mal a trouver deux droites qui passent par deux points donné puisqu'il n'y en a qu'une de plus l'équation que tu donnes est celle d'un plan auquel n'appartiennent pas les points.
L'équation d'une droite est donnée par deux équations de plans.

un des deux va etre x-2y+z=0 convient et y-z+1=0 convient aussi.

antoine

Posté par wedge (invité)re : sous espaces affines... 10-06-05 à 17:55

en fait je me suis trompé dans ce que j'ai écris, j'avais trouvé l'équation x -2y + z=0 .

pour ce que tu as écris ici :
La droite passe par le point de coordonnées (-1 ; 0 ; 1), on a donc:
(x+1) = y/A = (z-1)/B

La droite passe par le point de coordonnées (0 ; 1 ; 2) et donc:
(0+1) = 1/A = (2-1)/B

j'ai pas bien compris se que tu fais, c'est quoi A et B ?

sinon j'ai compris le reste.

Posté par
J-P Posteur d'énigmes
re : sous espaces affines... 10-06-05 à 18:14

A et B  sont des constantes à déterminer.

(x+1) = y/A = (z-1)/B
implique que la droite passe par le point (1 ; 0 ; -1) quels que  soient A et B. (en effet, si tu remplaces x, y et z respectivement par 1, 0 et 1 , l'expression est OK quelq que soient A et B).

En remplaçant x, y et z par les coordonnées du second point (0; 1 ; 2), on trouve un système de 2 équations reliant les inconnues A et B.
--> on peut déterminer A et B ...

Remarque:
Le seul cas où ce genre de truc rate serait que A ou B devrait être infini, c'est le cas dans le second exercice, si cela arrive, on tourne autour du problème en mettant le A ou le B sur un autre terme (voir exercice 2).
----





Posté par wedge (invité)re : sous espaces affines... 10-06-05 à 18:47

a d'accord

merci

Posté par
elhor_abdelali Correcteur
re : sous espaces affines... 11-06-05 à 01:57

Salut wedge,
je cite:
"Dans un exo on me demandé de trouver 2 droites de R3 passant par
(-1,0,1) et (0,1,2)."
Cet enoncé n'a pas de sens car il n'y a qu'1 seule droite de R3 passant par deux points distincts ,je crois que l'on t'a plutot demandé de trouver 2 plans de R3 dont l'intersection est la droite D passant par (-1,0,1) et (0,1,2).
Si c'est bien cela ,la réponse n'est pas unique car il y'a une infinité de paires de plans dont l'intersection est la droite D
la méthode de J-P(correcteur) en donne une assez facilement.
Pour le deuxième exo:
"calculer l'intersection du plan d'équation x + 2y + 3z = 6 avec la droite passant par (1,0,1) et (0,1,0)."
tu peux représenter paramétriquement ta droite par le systéme:
x=1-t, y=t, z=1-t puis remplacer dans l'équation de ton plan,
(1-t)+2t+3(1-t)=6 pour obtenir t=-1 soit x=2,y=-1,z=2 que sont les coordonnées du point d'intersection.

Posté par wedge (invité)re : sous espaces affines... 11-06-05 à 13:15

ok

par contre j'ai un peu de mal avec la méthode du premier exo.
trouver 2 équations définissant la droite passant par (1,2,3) et (2,3,5)

donc j'écris (x+1) = y/A = (z-1)/B

(2+1) = 3/A = (5-1)/B

3 = 3/A = 4/B
A=1 et B= 4/3
(x+1) = y
y = 4/3(z-1)

c'est çà non si je suis le raisonnement ? pourtant la deuxieme équation est pas bonne, c'est quoi mon erreur ?

Posté par
elhor_abdelali Correcteur
re : sous espaces affines... 12-06-05 à 00:23

Je cite:
"trouver 2 équations définissant la droite passant par
(1,2,3) et (2,3,5)
donc j'écris (x+1) = y/A = (z-1)/B"
Non,ce n'est pas cela qu'il faut écrire car tu n'as plus le point
(-1,0,1) c'est (1,2,3) qui le remplace donc tu vas écrire:
x-1=(y-2)/A=(z-3)/B
puis ,pour trouver A et B tu remplace x,y et z par 2,3 et 5 soit:
1=1/A=2/B donc A=1 et B=2
l'équation de ta droite devient :
x-1=y-2=(z-3)/2
ta droite est donc définie (par exemple)par les 2 équations:
x-y+1=0 et 2y-z-1=0

Posté par wedge (invité)re : sous espaces affines... 12-06-05 à 03:20

haaa ! !

ok! j'ai maintenant compris! c'est très facile!

merci pour l'explication



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