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sous-espaces affines et barycentres

Posté par
keriatso 04-05-21 à 15:02

Bonjour à la communauté.

Voila je sèche sur un exercice un peu théorique mais qui ne doit pas être bien sorcié.

Le voici :

Enoncé

Soient k un réel, \mathcal{F} et \mathcal{F'} deux sous-espaces affines d'un espace affine \mathcal{E}. Pour (M,M')∈\mathcal{F}\times\mathcal{F'} on pose M'' = Bar((M,1−k), (M′,k)).
Prouver que l'ensemble des points M'' quand (M,M′) décrit \mathcal{F}\times\mathcal{F'} est un sous-espace affine de E.


Bon je sèche. En fait mes idées ont été de montrer que l'ensemble des vecteurs de la forme \vec{M''N''} est un sous espace vectoriel de \vec{\mathcal{E}} mais je n'y suis pas arrivé.

Quelqu'un pourrait-il m'aider.

Merci.

Posté par
GBZMre : sous-espaces affines et barycentres 04-05-21 à 17:07

Bonjoiur,

Il me paraît plus astucieux d'essayer de démontrer que l'ensemble des points M'' est stable par barycentre.

Posté par
verdurinre : sous-espaces affines et barycentres 04-05-21 à 17:07

Bonsoir,
c'est une bonne idée de départ.
Tu peux montrer assez facilement que les vecteurs \vec{M''N''} sont de la forme (1-k)\vec u+ k \vec u' avec \vec u\in \vec{\mathcal F} et \vec u'\in \vec{\mathcal F'}.

Il y a ensuite deux cas particuliers à considérer.
Pour le cas général on montre que \lbrace (1-k)\vec u+k \vec u' \big\vert \vec u\in \vec{\mathcal F}, \vec u'\in \vec{\mathcal F'}\rbrace=\vec{\mathcal F}+\vec{\mathcal F'}

Posté par
keriatsore : sous-espaces affines et barycentres 04-05-21 à 20:45

merci beaucoup je vais voir.

Posté par
keriatsore : sous-espaces affines et barycentres 04-05-21 à 23:19

Concernant la réponse de verdurin je bloque justement à montrer le premier point :

verdurin @ 04-05-2021 à 17:07


Tu peux montrer assez facilement que les vecteurs \vec{M''N''} sont de la forme (1-k)\vec u+ k \vec u' avec \vec u\in \vec{\mathcal F} et \vec u'\in \vec{\mathcal F'}.


Voici un peu ma résolution :

Soit   \mathcal{G}  = \{M'':=(1-k)M + kM' | (M,M') \in \Mathcal{F}\times\mathcal{F'}\}

\mathcal{G} est non vide puisque comme \mathcal{F}  et  \mathcal{F'} sont des sous-espaces affines, il ne le sont pas.

Soit alors M'' un point de \mathcal{G}

On considère V l'ensemble des vecteurs \vec{M''N''} où N'' parcourt \mathcal{G}

Il existe donc (M,M')\in \mathcal{F}\times\mathcal{F'} et (N,N')\in\mathcal{F}\times\mathcal{F'} tel que
M'' = (1-k)M + kM' et N'' = (1-k)N + N'

On a donc
\vec{M''N''} = (1-k)\vec{MN''} + k\vec{M'N''} \\ = (1-k)^2\vec{MN} + (1-k)k(\vec{MN'} + \vec{M'N}) + k^2\vec{M'N'} \\

Alors à partir de là je vois bien que
(1-k)\vec{MN} \in\vec{\mathcal{F}} et que k\vec{MN}\in\vec{\mathcal{F'}}

Mais le problème est qu'il me reste (1-k)k(\vec{MN'} + \vec{M'N}).

Alors voilà où je bloque.

Concernant la réponse de GBMZ
GBZM @ 04-05-2021 à 17:07

Bonjoiur,

Il me paraît plus astucieux d'essayer de démontrer que l'ensemble des points M'' est stable par barycentre.


Alors j'imagine qu'il faut que j'utilise cette proposition de cours :

Proposition


Soit \mathcal{F} une partie non vide de \mathcal{E} un espace affine. Les deux propriétés suivantes sont équivalentes.
1. Le sous-ensemble \mathcal{F} est un sous-espace affine de \mathcal{E} .
2. Le sous-ensemble \mathcal{F} contient les barycentres de tous les systèmes finis de ses points pondérés.


Bon je regarde ce point qui m'a l'air d'être jouable. A voir pour la rédaction mais je vais me coucher. Je verrai demain.

Encore merci pour votre aide à tous les deux.

Keriatso

Posté par
keriatsore : sous-espaces affines et barycentres 04-05-21 à 23:38

keriatso @ 04-05-2021 à 23:19



On a donc
\vec{M''N''} = (1-k)\vec{MN''} + k\vec{M'N''} \\ = (1-k)^2\vec{MN} + (1-k)k(\vec{MN'} + \vec{M'N}) + k^2\vec{M'N'} \\

Alors à partir de là je vois bien que
(1-k)\vec{MN} \in\vec{\mathcal{F}} et que k\vec{MN}\in\vec{\mathcal{F'}}

Mais le problème est qu'il me reste (1-k)k(\vec{MN'} + \vec{M'N}).


Keriatso


Je crois avoir en fait résolu mon problème du coup désolé pour ce petit message en complément en espérant que cela ne perturbe pas trop la lisibilité de ma démonstration.

On a
(1-k)k(\vec{MN'} + \vec{M'N})=(1-k)k(\vec{MN} + \vec{NN'} + \vec{M'N} \\ = (1-k)k(\vec{MN} + {M'N'}

Donc en reprenant le calcul de \vec{M''N''} et en factorisant l'expression on a
\vec{M''N''} = (1-k)(1-k+k)\vec{MN} + k(1-k+k)\vec{M'N'} \\ = (1-k)\vec{MN} + k\vec{M'N'}

Je verrais la suite demain.

Merci pour votre aide.

Keriatso

Posté par
GBZMre : sous-espaces affines et barycentres 05-05-21 à 15:34

Bonjour,


À propos de la proposition de ton cours que tu cites :

Proposition


Soit \mathcal{F} une partie non vide de \mathcal{E} un espace affine. Les deux propriétés suivantes sont équivalentes.
1. Le sous-ensemble \mathcal{F} est un sous-espace affine de \mathcal{E} .
2. Le sous-ensemble \mathcal{F} contient les barycentres de tous les systèmes finis de ses points pondérés.


On peut voir sans difficulté qu'il suffit de vérifier 2) pour les barycentres de tous les systèmes de DEUX points pondérés.

Posté par
verdurinre : sous-espaces affines et barycentres 05-05-21 à 22:19

La méthode que j'avais en tête est sans doute moins bonne que celle de GBZM.

Mais on prend O un point quelconque, M et N dans \mathcal F, M' et N' dans \mathcal F'.
Avec des notations évidentes on a :

\vec{OM}''=(1-k)\vec{OM}+k\vec{OM}' \\ \vec{ON}''=(1-k)\vec{ON}+k\vec{ON}'

d'où
\vec{M''N''}=(1-k)\vec{MN}+k\vec{M'N'}

Posté par
keriatsore : sous-espaces affines et barycentres 06-05-21 à 00:19

Bonsoir et merci pour le conseil de GBZM.

Alors en effet c'est clairement plus simple je crois d'utiliser cette proposition.


GBMZ


On peut voir sans difficulté qu'il suffit de vérifier 2) pour les barycentres de tous les systèmes de DEUX points pondérés.


Je ne voit pas l'implication : c'est stable pour DEUX points, alors c'est stable pour une famille fini de points.

Cela dit c'est ce que j'ai fait.

Soient M'' et N'' des points de \mathcal{G} et  \large\alpha  et  \large\beta
tel que


On pose I''=\alphaM'' + \betaN''

M'' et N'' étant dans \mathcal{G} alors il existe (M,M')\in\mathcal{G} et (N,N') \in\mathcal{G} tels que
M''=(1-k)M + kM et N''=(1-k)N + N'

Par conséquent
I'' = \frac{\alpha M'' + \beta N''}{\alpha + \beta} \\ =\large\frac{\alpha ((1-k)M + kM') + \beta((1-k)N + kN'}{\alpha + \beta} \\ =(1-k)\frac{\alpha M + \beta N}{\alpha + \beta} + k\frac{\alpha M' + \beta N'}{\alpha + \beta} \\

Or I:=\frac{\alpha M + \beta N}{\alpha + \beta} est le barycentre de deux points de \mathcal{F} qui est un sous-espace affine donc appartenant à \mathcal{G}  et pour la même raison I':=\frac{\alpha M' + \beta N'}{\alpha + \beta} est dans \mathcal{F'}

Par conséquent I = (1-k)I + kI'\in \mathcal{G}

Du coup je pense avoir compris pourquoi il suffit de prendre que deux points car "l'astuce" est de factoriser par (1-k) pour les points de \mathcal{F} et k pour les points de \mathcal{F'}.

Mais du coup lorsque l'on veut utiliser cette proposition cela marche tout le temps?

Merci

Posté par
GBZMre : sous-espaces affines et barycentres 06-05-21 à 13:48

Je ne comprends pas bien ta dernière question. Quelque chose qui est démontré est vrai tout le temps, non ?

Posté par
keriatsore : sous-espaces affines et barycentres 06-05-21 à 14:16

Je vais reformuler :

est-ce qu'il est équivalent de dire :
Soit \mathcal{F} un sous-espace d'un espace affine  \mathcal{E}.
i) \mathcal{F} contient le barycentre de tout système de deux points pondérés.
ii) \mathcal{F} contient le barycentre de tout système fini de points pondérés.
iii) \mathcal{F} est un sous-espace affine de \mathcal{E}

Posté par
GBZMre : sous-espaces affines et barycentres 06-05-21 à 14:24

Tu dois déjà avoir la démonstration de l'équivalence de ii) et iii) dans ton cours, n'est-ce pas ?
ii) => i) est trivial : qui peut le plus peut le moins.
i) => ii) est facile. Je te laisse faire la démonstration. par récurrence sur le nombre de points. Il faut juste faire attention à ne jamais essayer de prendre le barycentre quand la somme des poids est nulle.

Posté par
keriatsore : sous-espaces affines et barycentres 07-05-21 à 12:12

Bonjour, donc voici ma rédaction de démonstration. Au début j'avais fait des cas des sou-cas suivant que le couple soit égal à 0 ou non et puis au final j'ai constaté un truc pratique qui ma permis d'alléger grandement ma rédaction. Si vous pouvez m'en faire un retour cela serait sympa :

démonstration i) implique ii)


Soit F une sous-partie d'un espace affine E

Supposons i) : Le sous -espace F contient le barycentre de tout système pondéré de deux points de F et montrons ii) : F contient le barycentre de tout système pondéré de n Points de F.

Procédons par récurrence :
Initialisation : n = 1
Il est trivial de dire que F contient le barycentre de tout système pondéré de un point de F puisque le barycentre d'un système pondéré de un point de F est ce point donc il est dans F.

Hérédité :
Supposons que F contienne le barycentre de tout système de n points de F et montrons qu'il contient alors le barycentre de tout système pondéré de n+1 points de F.

Soit ((A_i,k_i)_{1\leq i \leq n+1)) un système pondéré de n+1 points de F dont la masse totale soit différente de 0. Considérons G le barycentre de ce système.

Cas 1 : \sum_{i=1}^n k_i= 0

Alors
G = \frac{k_{n+1}}{k_{n+1}}A_{n+1} = A_{n+1} \in F par hypothèse sur le système

Cas 2 : \sum_{i = 1}^n k_i \neq 0 et soit H le barycentre du système ((A_i,k_i)_{1 \leq i \leq n}.
Alors par hypothèse de récurrence H est dans F.

De plus :

\begin{align*} \\ \large G = \frac{\sum_{i = 1}^{n+1}k_iA_i}{\sum_{i=1}^{n+1}k_i}\\ \\ = \frac{\sum_{i = 1}^n k_iA_i}{\sum_{i = 1}^{n + 1}k_i} + \frac{k_{n + 1}A_{n + 1}}{\sum_{i = 1}^{n + 1}k_i}\\ \\ = \frac{\sum_{i = 1}^nk_i}{\sum_{i = 1}^{n + 1}k_i}H + \frac{k_{n + 1}}{\sum_{i = 1}^{n + 1}k_i} A_{n + 1}\\ \\ \end{align*}
Donc G est aussi le barycentre d'un système pondéré de 2 points de F et par notre hypothèse initiale i),  G \in F.

On conclu par notre démonstration par récurrence que G contient le barycentre de tout système de n points pondérés.



Merci pour votre temps passé à votre relecture et votre analyse.

Posté par
GBZMre : sous-espaces affines et barycentres 07-05-21 à 13:47

Oui, c'est bien.

Posté par
GBZMre : sous-espaces affines et barycentres 07-05-21 à 13:51

Euh non, j'ai répondu trop vite. Le cas \sum_{i=1}^n k_i ne va pas : si tu prends par exemple (A,1), (B,-1), (C,1), le barycentre n'est pas C.

Suggestion : si la somme des poids est non nulle, on peut toujours trouver un poids non nul et différent de la somme.


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