Bonjour

Ta matrice est mal recopiée. Qui est k?
D'autre part si le polynôme caractéristique est celui que tu donnes, le sous-espace propre associé à la racine 1 ne peut pas être réduit à 0.
Donc recopie la matrice et mets les calculs qui te donnent ce résultat!

Bonjour,
L'île est pleine de ressource, entre autres :
Pour écrire des matrices, dans "aide à l'écriture Latex" c'est le 3ème bouton orange à partir de la droite pour écrire les matrices.


Descendre d'un cran.

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Bonjour
Ici, l suffit de lire la deuxième colonne de la matrice pour voir que 1 est valeur propre, et que le deuxième vecteur de la base canonique est un des vecteurs propres associés à 1
De manière générale, le vecteur nul n'est jamais un vecteur propre, ne trouver que lui quand on cherche des vecteurs propres, c'est la preuve que la valeur n'était pas si propre que ça ou qu'on s'est trompé en résolvant le système, ou les deux à la fois ...

salut

pas d'accord avec lafol : le vecteur nul est toujours vecteur propre pour les deux raisons suivantes  :

a/      (niveau seconde)

b/ un espace propre est un espace vectoriel   (donc contient le vecteur nul : neutre de l'addition)



qui est k ?


la première équation du système est fausse ...

pour moi un vecteur propre est un vecteur qui vérifie deux conditions : 1) il est non nul et 2) il a pour image un multiple de lui même
l'espace propre associé à a étant l'ensemble constitué du vecteur nul et des vecteurs propres associés à a

Parce que si on accepte le vecteur nul comme vecteur propre, vu que pour tout scalaire a, on a f(vecteur nul) = a. vecteur nul, et bien tous les scalaires sans exception seraient des valeurs propres de tous les endomorphismes....

De toutes façons, ne trouver que le vecteur nul quand on cherche les vecteurs propres associés à a, ça ne peut signifier que deux choses : a n'est pas une valeur propre, ou la résolution du système f(u) = a.u est foireuse (le ou étant le ou logique, inclusif)

il faudrait savoir, en haut à droite de la matrice, c'est un 0 ou un 1 ?

lafol

Alors ton polynôme caractéristique est ok
le système que tu résous aussi, mais pas la solution que tu en donnes
on trouve bien x = z = 0, mais y reste quelconque, lui

Bonsoir,

Le vecteur de ton corrigé  (0,1,0) est bien un vecteur propre correspondant à la valeur propre 1. Il suffit de le multiplier à vue d'oeil par la matrice pour s'en assurer.

Donc tu as du faire une erreur dans ton calcul.

Effectivement tu as fait une erreur dans ton calcul:
Ce n'est pas mais

Ta matrice initiale ne correspond pas à celle de 22-01-22 à 17:25.

non, c'est bien 3x = x, sinon le polynôme caractéristique ne serait pas celui-là, il a déjà dit que c'est bien un 0 et pas un 1, cf la matrice de son tout premier message

et nul besoin de faire une multiplication pour connaître l'image du deuxième vecteur de la base canonique : c'est la deuxième colonne de la matrice. Comme déjà dit il suffisait de la regarder pour savoir que (0,1,0) était propre associé à 1

donner plus d'explication s'il vous plait

@lafol, effectivement la première matrice est la bonne.  Pour là multiplicaton "j'avais dit à vu d'oeil".

@blaf01, comme l'à signalé lafol à 22-01-22 à 22:58, tu as du trouver et quelconque.

lafol : f(0) = 0 pour tout f effectivement ...

donc le vecteur nul est toujours propre ... s'il existe des espaces propres !!!

mais un réel k est-il valeur propre ?
oui s'il existe un vecteur non nul v tel que f(v) = kv

c'est là où se joue la différence ...

il n'empêche que la définition de vecteur propre prévoit qu'un vecteur propre est un vecteur NON NUL tel que etc ....

certes car pour trouver une valeur propre k il faut bien trouver (au moins) un vecteur non nul v = tel que f(v) = kv ... (et bien sûr pour tout multiple de v on a la même relation car f est linéaire)

et alors puisqu'on a toujours f(0) = 0  = k * 0 ... que k soit valeur propre ou non ... 0 sera dans l'espace vectoriel propre associé à la valeur propre k ... quand elle est valeur propre ...

ai-je jamais dit le contraire ?

pour re-préciser ce que j'avais dit : bien sûr c'est normal de trouver le vecteur nul quand on résout le système destiné à trouver les vecteurs de l'espace propre, ce qui est anormal, c'est de ne trouver QUE le vecteur nul

oui je pense que c'est plus clair ainsi ...

pour préciser aussi mon idée : dans la recherche d'un couple valeur propre/vecteur propre il y a une petite différence entre ces deux composantes :

à un vecteur (propre) il n'existe qu'une valeur propre mais à une valeur propre il existe une infinité (enfin sur un corps infini) de vecteurs propres ... dont le vecteur nul !!

mais au final l'important est que nous sommes d'accord ... sauf que parfois la façon dont nous le disonscommuniquons est parfois peu claire !!

je persiste : il y a une infinité de vecteurs propres, mais le vecteur nul n'en fait pas partie ! On doit le rajouter aux vecteurs propres pour constituer l'espace propre. Ceci dit pour ne pas s'em.... à préciser sans arrêt "avec x,y,z,... non tous nuls" à côté du système, on cherche toujours le sous espace propre (qui contient les vecteurs propres et le vecteur nul) et pas seulement les vecteurs propres, c'est pourquoi on trouve toujours le vecteur nul parmi les solutions : mais ça n'en fait pas un vecteur propre