bonsoir Nil

On va d'abord montrer que a est dans G.
Supposons donc par l'absurde que ce ne soit pas le cas.
Par définition de la borne inférieure, on a pour tout >0, il existe x dans G+^* tels que a

Avec =2a ( c'est possible car a>0), il existe b dans G+^* tel que aEn réutilisant la même chose =b, il existe c dans G+^* tels que aAinsi, il existe b et c dans G+^* tels aComme b et c sont dans G et que G est un groupe, alors on en déduit que b-c est dans G. Or on remarque que 0+^*, ce qui est absurde car a est la borne inférieure de cet ensemble.
Ainsi, a est dans G. Par suite, comme G est un groupe, aG.
Montrons l'inclusion inverse.

Considérons un élément x de G.
Si x est nul, le résultat est acquis.
Sinon, x>0 ou x<0, donc soit x soit -x est dans G+^*. On suppose que x>0.
Posons E={k^* tels que kax}.

cet ensemble est clairement inclus dans , non vide car 1 est dedans (car x est dans G+^* donc xa) et majoré (par la partie entière de )
Donc il admet un plus grand élément que l'on note n.
Posons y=x-na.
On a donc y positif y est dans G (car G est un groupe)
Si y>0, alors Y est dans G+^*, donc ya, d'où x(n+1)a ce qui absurd car n est le plus grand entier vérifiant cette inégalité et que n+1>n.
On déduit que y=0 et que x=na.
Ainsi, Ga.

kaiser

Merci de ton aide Kaiser, elle m'a été tres utile.

Je t'en prie Nil !