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Sous-Groupes

Posté par
matheux14 08-01-22 à 13:09

Bonjour,

Merci d'avance.

Soit (G ; *) un groupe et H \subset  G

Montrer que  :

\large H = \cap_{i\in \text{I}} H_i < G  avec \large H_i < G

"Sous-groupe" est remplacé par <

* Puisque H \subset G on a  e_G \in H

* \forall x , y \in H ; comment montrer que x * y^{-1} \in H

Posté par
lionel52re : Sous-Groupes 08-01-22 à 13:20

Si x et y sont dans H alors...

Posté par
matheux14re : Sous-Groupes 08-01-22 à 13:25

Si x et y sont dans H alors x*y ∈ H

Posté par
carpediemre : Sous-Groupes 08-01-22 à 13:42

salut

il n'est pas dit que H est un sous-groupe donc je ne comprends pas

matheux14 @ 08-01-2022 à 13:09

* Puisque H \subset G on a  e_G \in H

Posté par
matheux14re : Sous-Groupes 08-01-22 à 14:23

D'accord

*Soit H1 et H2 tel que H_1 < G et H_2 < G

Alors e_G \in H_1 \cap H_2

Du coup e_G \in H

* \forall x ; y \in H_1 ~;~ x * y \in H_1 \\ \Rightarrow x * y \in H_1 \cap H_2

Du coup x * y \in H

* Comment montrer que \forall x \in H, x^{-1} \in H ?

Posté par
lionel52re : Sous-Groupes 08-01-22 à 15:52

Si xy € H1 alors xy € H1 inter H2? euh...

Posté par
matheux14re : Sous-Groupes 08-01-22 à 20:09

Bien sûr; et xy \neq x*y
Ici * est une loi de composition interne.

Posté par
Rintarore : Sous-Groupes 09-01-22 à 10:03

Bonjour matheux14,

"bien sûr", vraiment ? Parce que là, ton raisonnement est faux. La notation de lionel52 "xy" est commune, cet élément est bien ce que tu notes "x * y", on voit la loi de composition interne "*" comme un simple produit et on fait le raccourci.

On ne voit pas pourquoi, si xy sont dans H1, il serait dans H1 inter H2... tu n'as pas démontré à priori que xy était dans H2.

Posté par
matheux14re : Sous-Groupes 09-01-22 à 11:10

Comment est-ce que je dois faire alors ?

Posté par
GBZMre : Sous-Groupes 09-01-22 à 11:25

Bonjour,

Serait-il possible d'avoir un énoncé écrit correctement ?  Avec une explicitation des notations utilisées ?
Est-ce qu'on te demande de montré qu'une intersection de sous-groupes est un sous-groupe ? Ou qu'une intersection de sous-groupes distingués est un sous-groupe distingué ?

Posté par
matheux14re : Sous-Groupes 09-01-22 à 13:34

Citation :
Est-ce qu'on te demande de montré qu'une intersection de sous-groupes est un sous-groupe ?


Oui, je crois bien.

Posté par
carpediemre : Sous-Groupes 09-01-22 à 13:51

au lieu de croire il faudrait nous donner un énoncé exact et complet !!

H est-il un simple sous-ensemble de G ou un sous-groupe de G ?

Posté par
matheux14re : Sous-Groupes 09-01-22 à 15:40

H est un sous-groupe de G avec H inclus dans G.

Posté par
matheux14re : Sous-Groupes 09-01-22 à 22:00

Citation :
H est-il un simple sous-ensemble de G ou un sous-groupe de G ?


Sinon j'ai pas compris pourquoi vous aviez posé cette question..

Posté par
GBZMre : Sous-Groupes 09-01-22 à 22:02

Relis-toi : NULLE PART tu n'as écrit que H est un sous-groupe de G !!!

Posté par
matheux14re : Sous-Groupes 09-01-22 à 22:12

Citation :
Bonjour,

Merci d'avance.

Soit (G ; *) un groupe et H \subset  G

Montrer que  :

\large H = \cap_{i\in \text{I}} H_i < G  avec \large H_i < G

"Sous-groupe" est remplacé par <

* Puisque H \subset G on a  e_G \in H

* \forall x , y \in H ; comment montrer que x * y^{-1} \in H

Posté par
GBZMre : Sous-Groupes 09-01-22 à 22:21

OK, au temps pour moi.

Pourquoi ne nous donnes-tu pas l'énoncé tel qu'il t'a été posé ? Ça faciliterait la communication !

Mettons que ton énoncé est
"Soit (H_i)_{i\in I} une famille de sous-groupes du groupe G. Montrer que H=\bigczp_{i\in I} H_i est un sous-groupe de G."

Qu'as-tu à vérifier ?

Posté par
matheux14re : Sous-Groupes 10-01-22 à 00:09

J'ai vérifié pour deux ensembles H1 et H2

Posté par
GBZMre : Sous-Groupes 10-01-22 à 08:48

Ensembles ou sous-groupes ?
En tout cas, il n'y a pas de vérification qui tienne la route dans ce fil.

Posté par
matheux14re : Sous-Groupes 10-01-22 à 09:07

J'ai vérifié pour deux sous-groupes H1 et H2.

Posté par
GBZMre : Sous-Groupes 10-01-22 à 09:12

Je n'ai vu aucune vérification qui tienne la route. Mais peut-être ai-je mal regardé ?

Posté par
matheux14re : Sous-Groupes 10-01-22 à 10:39

Citation :
D'accord

*Soit H1 et H2 tel que H_1 < G et H_2 < G

Alors e_G \in H_1 \cap H_2

Du coup e_G \in H

* \forall x ; y \in H_1 ~;~ x * y \in H_1 \\ \Rightarrow x * y \in H_1 \cap H_2

Du coup x * y \in H

* Comment montrer que \forall x \in H, x^{-1} \in H ?

Posté par
lionel52re : Sous-Groupes 10-01-22 à 10:51

Encore une fois tu écris que si x*y appartient à H1 alors x*y appartient à H1 inter H2, ce qui est une faute grave à ce stade de l'année

Posté par
GBZMre : Sous-Groupes 10-01-22 à 10:51

Je confirme, ça ne tient pas la route.
Tu as peut-être les idées, mais c'est en tout cas rédigé n'importe comment.
Par ailleurs, il n'y a pas de différence dans l'argumentation entre le cas de deux sous-groupes et le cas d'une famille quelconque de sous-groupes.

Posté par
matheux14re : Sous-Groupes 10-01-22 à 18:48

{Hi}i∈I , I ⊂ N, est une famille de sous-groupes d'un même groupe (G ; *)

\forall i \in I ; e_G \in H_i donc e_G \in \inter_{i\inI}H_i = H (1)

Soient x,y \in H = \cap_{i\in I}H_i ; \forall i \in I on a x \in H_i et y^{-1} \in H_i donc x*y^{-1} \in H_i car Hi est un sous-groupe de G.

Donc x*y^{-1} \in H = \cap_{i\in I}H_i (2)

D'après (1) et (2) H est un sous-groupe de G.

Posté par
GBZMre : Sous-Groupes 10-01-22 à 19:12

Quand tu t'appliques, c'est bien.

Posté par
matheux14re : Sous-Groupes 11-01-22 à 14:27

Ok merci

Posté par
matheux14re : Sous-Groupes 11-01-22 à 17:05

Rintaro @ 09-01-2022 à 10:03

Bonjour matheux14,

"bien sûr", vraiment ? Parce que là, ton raisonnement est faux. La notation de lionel52 "xy" est commune, cet élément est bien ce que tu notes "x * y", on voit la loi de composition interne "*" comme un simple produit et on fait le raccourci.

On ne voit pas pourquoi, si xy sont dans H1, il serait dans H1 inter H2... tu n'as pas démontré à priori que xy était dans H2.


La multiplication et l'addition n'ont pas de sens dans un groupe non ?

Posté par
carpediemre : Sous-Groupes 11-01-22 à 17:49



donc tu ne sais pas ce qu'est un groupe ...

Posté par
matheux14re : Sous-Groupes 11-01-22 à 18:57

Bien sûr que oui ; qu'est ce qui vous fait dire cela ?

Posté par
carpediemre : Sous-Groupes 11-01-22 à 20:13

matheux14 @ 11-01-2022 à 17:05

La multiplication et l'addition n'ont pas de sens dans un groupe non ?
que signifie cette phrase ?

Posté par
matheux14re : Sous-Groupes 12-01-22 à 16:24

La différence entre un anneau et un groupe.

Posté par
carpediemre : Sous-Groupes 12-01-22 à 17:06

pourquoi parler d'anneau alors que l'énoncé ne parle que de groupe ?

Posté par
GBZMre : Sous-Groupes 12-01-22 à 17:56

Bonsoir,

La loi de composition interne d'un groupe est le plus souvent notée multiplicativement, ou additivement quand il s'agit d'un groupe abélien.
La multiplication a donc bien un sens dans un groupe (ainsi que l'addition dans un groupe abélien) : c'est la loi de composition interne. D'ailleurs, la notation x^{-1} pour le symétrique de l'élément x est bien une notation multiplicative, n'est-ce pas ?

Posté par
carpediemre : Sous-Groupes 13-01-22 à 09:24

en complément des propos de GBZM je voudrais préciser ma pensée par rapport à mes trois précédents msg :

par définition un groupe est un ensemble muni d'une unique opération (sur ses éléments) qui vérifie certaines propriétés.

cette opération tu peux l'appeler truc ou bidule ou ce que tu veux et la noter avec n'importe quel symbole plus ou moins kabbalistique mais ce qui importe c'est que ces propriétés sont celles que vérifient exactement les deux opérations que tu as apprises depuis la primaire avec les nombres : à savoir l'addition et la multiplication

et c'est pourquoi on utilise naturellement les symboles + ou x lorsqu'on généralise formellement les choses avec la distinction éventuelle donnée par GBZM ...

Posté par
GBZMre : Sous-Groupes 13-01-22 à 09:43

Citation :
ces propriétés sont celles que vérifient exactement les deux opérations que tu as apprises depuis la primaire avec les nombres : à savoir l'addition et la multiplication

Hum, ni l'addition ni la multiplication n'ont de symétrique sur les entiers naturels.

Posté par
carpediemre : Sous-Groupes 13-01-22 à 09:51

sur l'ensemble adéquat qui fait qu'on peut parler de groupe bien sûr !!!
donc les ensembles pour lesquels on a assez d'éléments pour pouvoir vérifier les propriétés de groupes !!!

Posté par
GBZMre : Sous-Groupes 13-01-22 à 09:53

Certains en ont trop : la multiplication ne met pas une structure de groupe sur l'ensemble des nombres rationnels.


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