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sous groupes de (Z/nZ,+)

Posté par jacko78 (invité) 12-09-05 à 19:29

Bonjour, je suis actuellement sur un exo ou il faut que je determine les sous groupes de (/n,+) mais je ne suis pas sur de ma demarche...

Voila,

Soit G un sous groupe de (/n,+)
Alors G doit contenir le neutre, qui ici est \bar{0}
Tout élément de G doit avoir un symetrique dans G pour l'addition, donc exemple si G contient \bar{k} pour k=1 a (n-1), il doit aussi contenir \bar{n-k} d'apres moi...

Mais cela suffit il pour determiner et avoir tous les sous groupes de (/n,+) ??

Je voudrais aussi determiner le nombre de morphismes de (/n,+) vers (/q,+) et la j'ai moins d'idée mais c'est surtout pour les sous groupes que je voudrai de l'aide...


Merci a tous

Posté par
otto
re : sous groupes de (Z/nZ,+) 12-09-05 à 19:33

Bonjour,
si j est dans ton groupe, que dire de 2j,3j etc et finalement nj?

Inversement, soit G un tel sous groupe, puisque ton groupe est cyclique, que dire de G? Conclusion.

Conclusion?

Posté par jacko78 (invité)re : sous groupes de (Z/nZ,+) 12-09-05 à 19:50

Bah je pense que G est cyclique egalement, donc il contient le générateur du groupe qui est la classe de 1, non?
je vois ce que tu veux dire avec j qui engendrent mais ca n eme mene pas a la reponse...

Posté par
otto
re : sous groupes de (Z/nZ,+) 12-09-05 à 19:55

Il n'y a aucune raison qu'il contienne 1.
Sinon tu vas au bout avec mon raisonnement, si tu vois comment faire.
A+

Posté par jacko78 (invité)re : sous groupes de (Z/nZ,+) 12-09-05 à 19:58

bon alors je n'ai pas compris ton aide

Posté par jacko78 (invité)re : sous groupes de (Z/nZ,+) 12-09-05 à 20:09

Quelqu'un pour m'aider ?

Posté par jacko78 (invité)re : sous groupes de (Z/nZ,+) 12-09-05 à 21:01

S'il vus plait ca ne doit pas etre infaisable mais si je pose la question c'est que je suis en difficulté, tout n'est pas evident pour tout le monde...

Posté par
otto
re : sous groupes de (Z/nZ,+) 12-09-05 à 21:35

Si G est un sous groupe d'un groupe cyclique, alors il est cyclique.
Donc, que dire des éléments de G?

Posté par jacko78 (invité)re : sous groupes de (Z/nZ,+) 12-09-05 à 21:53

Si G est cyclique alors il est monogène fini et donc les éléments de G s'écrivent comme somme du générateu du groupe.
C'est pas ca ??

Posté par
otto
re : sous groupes de (Z/nZ,+) 12-09-05 à 21:55

Oui c'est bon, et donc...

Posté par jacko78 (invité)re : sous groupes de (Z/nZ,+) 12-09-05 à 21:58

le probleme c'est que je ne vois pas qui est le générateur de mon sous groupe (c'est le meme que pour le groupe je sais), c'est pas \bar{0} donc je ne vois pas.

Posté par
otto
re : sous groupes de (Z/nZ,+) 12-09-05 à 22:09

Ce que c'est concretement, va changer suivant le groupe que tu prends, donc appelle le comme tu veux.
Appelle le a par exemple.
Et donc essaie de voir maintenant ce qui se passe...

Posté par jacko78 (invité)re : sous groupes de (Z/nZ,+) 12-09-05 à 22:39

Bon allez je laisse tomber je tacherai de comprendre la corrction j'ai plein d'autres exos qui m'attendent...

Merci quand meme

Posté par
otto
re : sous groupes de (Z/nZ,+) 12-09-05 à 22:45

C'est ton problème, mais pour un mathspé il ne devrait pas y avoir de problème sur un tel exercice.

Posté par jacko78 (invité)re : sous groupes de (Z/nZ,+) 12-09-05 à 22:55

Et bien il se trouve que cette année j'ai des problemes en maths, il n'y a pas que des génies en mathspé et il y en a, comme moi, qui s'ils n'ont pas un vrai cours ne savent pas en deviner les consequences.

Mais le propre d'un mathspé c'est pas pour moi de savoir tout faire apres 10 jours de cours mais c'est de perseverer, aussi la remarque sur la faiblesse de l'exercice que je n'arrive pas a faire est sans effet...Je finirai par le comprendre

Bonne soirée

Posté par
elhor_abdelali Correcteur
re : sous groupes de (Z/nZ,+) 13-09-05 à 03:02

Bonsoir;
il me semble qu'on peut dénombrer les sous groupes de (\mathbb{Z}/_{n\mathbb{Z}},+) suivant leurs cardinaux qui sont des diviseurs de n.
je m'explique:
*soit G est un sous groupe additif de \mathbb{Z}/_{n\mathbb{Z}} avec\fbox{Card(G)=d}.G est cyclique (comme sous groupe d'un groupe cyclique) donc si \bar{a} en est un générateur on peut écrire que:
\fbox{ord(\bar{a})=d\\G=\{\bar{0},\bar{a},..,\bar{(d-1)a}\}\\(\forall\bar{x}\in G)d\bar{x}=\bar{0}}
en particulier,vu que \fbox{n\bar{a}=\bar{0}}, on a que \fbox{d|n}.
*inversement,soit d un diviseur de n posons:
\fbox{G=\{\bar{x}\in\mathbb{Z}/_{n\mathbb{Z}}/d\bar{x}=\bar{0}\}} c'est clairement un sous groupe additif de \mathbb{Z}/_{n\mathbb{Z}} et qui en plus contient tout sous groupe de cardinal d.En particulier G contient le sous groupe \fbox{G_d=\{\bar{0},\bar{a},..,\bar{(d-1)a}\}}\fbox{a=\frac{n}{d}}
et donc \fbox{Card(G)\ge d}
d'autre part G étant cyclique on voit que l'ordre d'un quelconque de ses générateurs divise d et donc que \fbox{Card(G)\le d}.
Conclusion:
Les cardinaux (ou les ordres) des sous groupes additifs de \mathbb{Z}/_{n\mathbb{Z}} sont des diviseurs de n et si d est un diviseur de n l'unique sous groupe additif de \mathbb{Z}/_{n\mathbb{Z}} qui soit de cardinal d est: \fbox{G_d=\{\bar{0},\bar{\frac{n}{d}},..,\bar{(d-1)\frac{n}{d}}\}}
remarque:
Il y a autant de sous groupes de (\mathbb{Z}/_{n\mathbb{Z}},+) qu'il y a de diviseurs de n.Ainsi si \fbox{n={p_1}^{\alpha_1}..{p_s}^{\alpha_s}} est la décomposition en produit de facteurs premiers de n,le nombre de ces sous groupes est \fbox{\Bigprod_{i=1}^{s}(1+\alpha_i)}
Voilà jacko78,j'espére que c'est assez clair sauf erreur bien entendu

Posté par
elhor_abdelali Correcteur
re : sous groupes de (Z/nZ,+) 13-09-05 à 14:14

Par exemple;
*si n est premier,(\mathbb{Z}/_{n\mathbb{Z}},+) n'admet pas de sous groupes propres.
*si n=pq avec p,q premiers,(\mathbb{Z}/_{n\mathbb{Z}},+) a exactement 2 sous groupes propres:
\{\bar{0},\bar{q},\bar{2q},..,\bar{(p-1)q}\} d'ordre p et \{\bar{0},\bar{p},\bar{2p},..,\bar{(q-1)p}\} d'ordre q.
Sauf erreur...

Posté par
kachouyab
pr elhor 13-09-05 à 21:13

quel language utilisez vous ds votre saisie.  merci

Posté par
Nightmare
re : sous groupes de (Z/nZ,+) 13-09-05 à 21:28

Le language utilisé est le 3$\rm LaTe\chi

Posté par
elhor_abdelali Correcteur
re : sous groupes de (Z/nZ,+) 13-09-05 à 21:29

Bonsoir;
C'est du \fbox{LATEX} dont le mode d'emploi est expliqué sur l'ile ( en haut de cette page pret du point d'interrogation)



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