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Niveau Maths sup
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Sous suites

Posté par
isa12
31-12-09 à 18:41

Bonjour! J'ai un exercice de maths assez difficile et comme on est passé rapidement sur les suites, j'ai fait quelques recherches sur internet mais les démonstrations que j'ai trouvées utilisaient les notions de distance et de boules fermées ou ouvertes. Or on ne les a pas encore étudiés.. (Je suis en MPSI)

1)Justifier qu'il existe une sous-suite de (un) qui converge vers a ssi tout voisinage de a contient une infinité de termes de la suite (un).

2) Soit (un) une suite bornée telle que un+1 - un tends vers 0 quand n tends vers + infini. Montrer que l'ensemble formé par les limites des sous-suites de (un) est un intervalle fermé.

3) En déduire que si f : [0,1] dans [0,1] est continue et si (un) est une suite récurrente définie par u0 appartient [0,1] et un+1 = f(un) on a l'équivalence :

un+1- un tends vers 0 quand n tends vers + infin est équivalent à (un) converge.

Merci beaucoup d'avance

Posté par
kybjm
re : Sous suites 31-12-09 à 19:52

Quelques remarques :
1.Une suite à valeurs dans l'ensemble X est une application de dans X càd un élément de X . J'adopte la notation "fonction" .
2.Je désigne par SC l'ensemble des : qui sont strictement croissante
3.Si u : X , ss(u) = { u o | SC } (c'est l'ensemble des sous-suites de u)
Ta question 1.
Soit u :  
  1.Supposons qu'il existe une sous-suite v de  u qui converge vers a . Soit SC tq v = u o .

Tu veux montrer que " tout voisinage de a contient une infinité de termes de la suite u "
Soit donc V un voisinage de a . Il existe donc un entier N tel que pour k > N on ait v(k) V.
Alors { n | u(n) V } { (k) | k > N } qui n'est pas fini puisque est strictement croissante .
C'est ça que signifie "infinité de termes" qui est très ambigu , bien que souvent employé . { u((k) | k > N } peut ne pas être infini (Prendre pour u une suite constante )
3.Inversement supposons que l'on ait : " V voisinage de a , { n | u(n) V } est infini" autrement dit que " r > 0 , { n | |u(n) - a| < r  } est infini"
Soir s : +* telle que s 0 (par exemple s : n 2-n )

.Soit (0) tel que  |u((0)) - a| < s(0).
.{ n | n > (0) et |u(n) - a | < s(1)  } est infini (sinon  { n ||u(n) - a| < s(1)   } serait fini)
Soit (1) son plus petit élément. On a (0) < (1) et |u((1)) - a| < s(1). .......
Supposons que n soit un entier > 0 et qu'on ait trouvé (j) pour j {0,...,n} vérifiant (0) <...<(n) et |u((j)) - a| < s(j) pour tout j {0,...,n}.





  

Posté par
kybjm
re : Sous suites 31-12-09 à 20:05

J'espère que tu es capable de terminer : On fabrique ainsi SC tq v u o a.

Cherche un peu les questions 2 et 3 et on en reparlera l'an prochain que je te souhaite bon .

Posté par
isa12
re : Sous suites 01-01-10 à 21:07

Merci beaucoup pour ta réponse. Pour la question 2, j'ai utilisé le théorème de Bolzano Weierstrass pour montrer que les sous-suites de un convergent. Leur limite forment une suite an et je veux montrer que cette suite est bornée, mais j'ai pas encore réussi à le démontrer..



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