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Niveau LicenceMaths 2e/3e a
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Sous-variété

Posté par
toureissa
05-03-20 à 00:21

Bonsoir,

J'ai besoin d'aide sur la deuxième question de cet exercice.

Soit a>0 réel. Notons U l'intervalle ]1,∞[ de R, et soit  f de U dans R² définie par

f(t)=(\frac{3at}{1+t^3}, \frac{3at^2}{1+t^3})

1. Montrer que f est une immersion de classe C∞.

2. La partie f(U) est-elle une sous-variété de R²?

1) La dimension de l'espace de départ est inférieure à la dimension de l'espace l'arrivé , donc f peut-être une immersion ,mais pas une submersion.

De plus, ona :

J_f(t)=(\frac{3a(1-2t^3)}{(1+t^3)^2} \; \frac{3at(2-t^3)}{(1+t^3)^2})

Ce jacobien ne peut-être nul  d'où f est une immersion.

2. Je n'arrive pas à montrer le 2) je ne sais pas comment montrer qu'une partie est une sv lorsqu'elle est définie par paramétrisation.

Merci de m'aider !

Posté par
toureissa
re : Sous-variété 05-03-20 à 11:11

Bonjour,

J'ai essayer d'appliquer la définition par paramétrisation d'une sous-variété :
M est une sous-variété de R^n si:
Pour tout x de M, il existe un ouvert U de R^n contenant x, un ouvert V de R^m contenant 0 et une immersion  en 0 g de V dans R^n telle que g(0)=x et g induit un homéomorphisme de V dans (U inter M).

J'ai essayer de considéré l'immersion f, mais je ne vois pas clairement les choses.

Posté par
Camélia Correcteur
re : Sous-variété 05-03-20 à 15:57

Bonjour

Commence par faire le dessin pour a=1. Tu obtiens une espèce de 8 en (0,0). Montre qu'aucun voisinage de (0,0) ne peut être homéomorphe à un segment. C'est un argument de connexité qui fonctionne.

Posté par
toureissa
re : Sous-variété 05-03-20 à 21:58

Bonsoir,

Voici comment j'ai représenté la courbe  sur U.

Sous-variété

Posté par
Camélia Correcteur
re : Sous-variété 06-03-20 à 14:56

Oui, cette partie est bien telle que tu la présentes et c'est bien une sous-variété. Tu eux simplement prouver que la projection sur l'axe Ox est un homéomorphisme.

Ma réponse (trop rapide) parlait de l'image complète f(\R\setminus\{-1\}), qui est l'exmple type d'image d'une immersion injective qui n'est pas une sous-variété.

Posté par
toureissa
re : Sous-variété 08-03-20 à 18:50

Bonjour Camélia

Donc je dois juste montrer que g: U ---> f(U)  définie par g(t)=f(t) est un homéomorphisme ?

Posté par
Camélia Correcteur
re : Sous-variété 09-03-20 à 14:46

Tu peux travailler localement. Prends X=(x,f(x)) avec x>0. Construis un voisinage compact de X tel que la projection (y,f(y))\mapsto y soit une bijection continue de ce voisinage sur un intervalle fermé de \R , donc un homéomorphisme.



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