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[Spé] Arithmétique (pour jeudi)
Bonjour, j'ai un exercice à rendre en spécialité, mais je ne comprends vraiment pas, et je comprends à peine le cours... votre aide me serait très utile.
1/ Déterminer les points a coordonnées entieres appartenant a la courbe d'équation y = (7x+5)/(x-2)
2/ On cherche à déterminer S l'ensemble des triplets (a;b;c) de 3 entiers naturels tels que a < b < c et chacun divise la somme des 2 autres.
a- démontrer que si ( a;b;c) appartient à S alors a+b < 2c. En déduire que c = a + b
b- démontrer que si (a;b;c) appartient à S alors b divise 2a. En déduire que b = 2a.
c- En déduire que S = { (n;2n;3n), n appartient à N* }
Bonsoir
1) (7x+5)/(x-2)=7+19/(x-2)
Donc (7x+5)/(x-2) est un entier ssi (x-2) divise 19.
Donc x-2=1 ; -1 ; 19 ou -19.
Conclure.
2)
a) a < b < c donc a < c et b < c donc a+b < 2c
Or c divise (a+b) donc a+b=kc. D'après l'inégalité, on a : k < 2 donc k = 1.
b) b divise a+c donc b divise a+a+b=2a+b donc b divise 2a.
Or a < b <= 2a donc b =2a.
c) Soit a=n, on a b=2n et c=a+b=3n.
Conclure.
@+
bon pas génial comme méthode mais on y arrive !
(7x+5)/(x-2) = (x-2+6x+7)/(x-2)
= 1+ (6x+7)/(x-2)
= 1+ (x-2+5x+9)/(x-2)
= 1+1+ (5x+9)/(x-2)
= 1+1+1+ (4x+11)/(x-2)
= 1+1+1+1+ (3x+13)/(x-2)
= 1+1+1+1+1+ (2x+15)/(x-2)
= 1+1+1+1+1+1+ (x+17)/(x-2)
= 1+1+1+1+1+1+1+ 19/(x-2)
donc pour que y = (7x+5)/(x-2) soit un entier, comme on prend x entier,
on doit avoir x-2 divise 19.
19 est un nombre premier donc ses diviseurs sont 1 et 19.
donc x-2 = 1 cad x = 3 ou x-2 = 19 cad x = 21.
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