Bonjour,

écrire que N = 1000a + 100b + 10a + 7
etc...
méthode rapide et efficace : par les congruences
sinon réfléchir devrait suffire en divisant 101 et 10 par 7 ... (écrire que 10 = 7*1 + 3 etc ..

nota : l'énoncé est "un peu sot" puisque 2(a+b) divisible par 7 si et seulement si a+b est divisible par 7
en effet 2 et 7 sont premiers (entre eux) ...
cette remarque étant un indice

Je ne comprends pas d'où sort le 101? Vous vouliez sans doute écrire 100. En gros vous voulez que je fasse la somme des restes des division euclidiennes de 1000, 100 et 10 par 7?
Je ne vois pas comment les congruences peuvent m'aider là-dedans
Par contre, j'ai compris pour votre remarque car, vu que 2 n'est pas divisible par 7, alors a+b l'est forcément.

il faudrait que simplifier les équations devienne un reflexe immédiat et automatique sans qu'on ait besoin de te le demander ...

ensuite écrire que 10 = 7*1 + 3 ou écrire que 10 3 [7] c'est pareil
sauf que les calculs avec les congruence sont plus compacts :

10b (pourquoi donc 10b et pas 100b ? pour la même raison que mon 101)

donc 10 3 [7]
10b 3b [7]

l'énoncé dit N 0 [7] c'est à dire 1000a + 100b + 10a + 7 0 [7]
etc (encore le coup du lemme de Gauss pour simplifier par 10)

Pour les congruences j'ai bien compris, or je ne comprends l'histoire du 101 et 10b, quel est le lien?

pfff

en terminale on est sensé savoir effectuer les manipulations élémentaires d'expressions

1000a + 100b + 10a + 7 = 1010a + 100b + 7 = 10(101a + 10b) + 7 etc ...

tu le vois mon 101 là ??

10(101a + 10b) + 7 0 [7]

10(101a + 10b) 0 [7]

et comme 10 et 7 sont premiers entre eux, si 7 divise 10(101a+10b), alors il divise 101a + 10b

c'est à dire
101a + 10b 0 [7] etc
rédigé en congruences ou en mots ou en 7k+r c'est pareil hein.

Ah oui la je comprends beaucoup mieux .
Du coup, j'arrive bien à 101a+10b0[7].
Et je dois alors obtenir 2(a+b)0[7] si j'ai bien compris l'énoncé.

oui, d'où mon indice de trouver les restes des divisions de 101 et de 10 par 7 pour simplifier cette équation,
puis ensuite la simplifier encore pour aboutir à mon indice initial :
la demande de l'énoncé est équivalente à simplement a+b multiple de 7

103[7].
1013[7].

oui, et donc ?
tu n'es pas capable de prendre des initiatives pour à partir de ça simplifier 101a + 10b modulo 7 ??

Excusez-moi mais j'écris en même temps mon brouillon sur feuille afin de tout bien restituer et le site me permet de revoir les conseils et les valeurs que j'inscrit ^^.
Le problème c'est que je n'ai pas le souvenir d'avoir fait cela en cours, d'avoir simplifier une congruence grâce à une autre...

Quoique: en sachant que 103[7] et que1013[7], alors 101a+10b3a+3b[7]?

oui. et suivre le fil du raisonnement plutôt que de lire chaque ligne avec des oeillères

tu viens de dire (mais tu as oublié ce que tu avais dit deux lignes avant : que 101a+10b 0 [7] ??)

et donc 3a+3b 0 [7]

et prendre l'initiative triviale de mettre 3 en facteur

et de reprendre encore cet fameux lemme de Gauss que si 7 divise 3(a+b) etc

Vu que 7 et 3 sont premiers entre eux, alors si 3(a+b)0[7], alors a+b0[7].
Donc, vu que  a+b0[7], alors 2(a+b))0[7] aussi.
Donc, si N est divisible par 7 alors 2(a+b) est divisible par 7.
La conclusion est-elle bonne?

oui.

Ah! Merci beaucoup

bjr,
N= 1010a+100b+7
N= 7(144a+4b+1)+2(a+b)
il est claire que si N est divisible par 7 il suffit que 2(a+b) soit aussi ;