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Bonjour j'ai un devoir de Spécialité math pour la rentrer et j'aimerais avoir un peu d'aide s'il vous plait
Exercice:
On pose An=10^9n+2x10^6n+2x10^3n+1 pour tout entier naturel n
1. Déterminer, suivant les valeurs de l'entier naturel n, le reste de la division de 10^n par 7
2. Montrer que 10²≡1[11] et 10^3≡-1[13]
3. On suppose que n est impar.
Démontrer que An est divisible par 7, par 11 et par 13
4. On suppose que n est pair
Démontrer que An a le même reste dans la division par 7,par 11 et par 13
5. Déterminer alors suivant les valeurs de n le reste de la division de An par 1001
*** message déplacé ***
Bonjour j'ai un devoir de Spécialité math pour la rentrer et j'aimerais avoir un peu d'aide s'il vous plait
Exercice:
On pose An=10^9n+2x10^6n+2x10^3n+1 pour tout entier naturel n
1. Déterminer, suivant les valeurs de l'entier naturel n, le reste de la division de 10^n par 7
2. Montrer que 10²≡1[11] et 10^3≡-1[13]
3. On suppose que n est impar.
Démontrer que An est divisible par 7, par 11 et par 13
4. On suppose que n est pair
Démontrer que An a le même reste dans la division par 7,par 11 et par 13
5. Déterminer alors suivant les valeurs de n le reste de la division de An par 1001
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Bonjour j'ai un devoir de Spécialité math pour la rentrer et j'aimerais avoir un peu d'aide s'il vous plait
Exercice:
On pose An=10^9n+2x10^6n+2x10^3n+1 pour tout entier naturel n
1. Déterminer, suivant les valeurs de l'entier naturel n, le reste de la division de 10^n par 7
2. Montrer que 10²≡1[11] et 10^3≡-1[13]
3. On suppose que n est impar.
Démontrer que An est divisible par 7, par 11 et par 13
4. On suppose que n est pair
Démontrer que An a le même reste dans la division par 7,par 11 et par 13
5. Déterminer alors suivant les valeurs de n le reste de la division de An par 1001
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Bonjour j'ai un devoir de Spécialité math pour la rentrer et j'aimerais avoir un peu d'aide s'il vous plait parce que je ne comprend pas
Exercice:
On pose An=10^9n+2x10^6n+2x10^3n+1 pour tout entier naturel n
1. Déterminer, suivant les valeurs de l'entier naturel n, le reste de la division de 10^n par 7
2. Montrer que 10²≡1[11] et 10^3≡-1[13]
3. On suppose que n est impair.
Démontrer que An est divisible par 7, par 11 et par 13
4. On suppose que n est pair
Démontrer que An a le même reste dans la division par 7,par 11 et par 13
5. Déterminer alors suivant les valeurs de n le reste de la division de An par 1001
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Bonjour il te suffit d'explorer les 3 "possiblités" pour la valeur de n modulo 3 (0,1 ou 2) et d'obtenir que n(5nn+1) est forcément congru à 0 modulo 3. Pour cela tu devras admettre les propriétés sur les congruences tq: si ( a=b[m] et a'=b'[m] alors a*b=a'*b'[m]). Cependant si tu n'admets pas cette propriété, elle se démontre facilement.
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bonsoir : )
tes réponses ? (comme ton énoncé est différent de celui posté ici, tu penseras à créer ton propre topic la prochaine fois : ))
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Spé Math Congruence
Bonjour j'ai un devoir de Spécialité math pour la rentrer et j'aimerais avoir un peu d'aide s'il vous plait parce que je ne comprend pas
Exercice:
On pose An=10^9n+2x10^6n+2x10^3n+1 pour tout entier naturel n
1. Déterminer, suivant les valeurs de l'entier naturel n, le reste de la division de 10^n par 7
2. Montrer que 10²≡1[11] et 10^3≡-1[13]
3. On suppose que n est impair.
Démontrer que An est divisible par 7, par 11 et par 13
4. On suppose que n est pair
Démontrer que An a le même reste dans la division par 7,par 11 et par 13
5. Déterminer alors suivant les valeurs de n le reste de la division de An par 1001
Désolé mais je ne savais pas comment faire un nouveau sujet mais c'est bon j'ai réussit 
*** message déplacé ***
Bonsoir
Peux-tu indiqué ce que tu as fait (parce que le début est vraiment élémentaire...) et où tu coinces?
A +
Désolé du retard alors:
1. Le reste est égale à 1 donc 10^n≡1[7]
2. 10²= 100
100= 11x9+1
10^3= 1000
1000=13x77-1
Puis à partir de la question 3 je n'y arrive pas du tout
la question te demande de trouver les restes en fonction de n,
si n = 0, le reste est
si n = 1, le reste est
si n = 2
...
d'accord alors
si n=0 le reste = 1
n=1 le reste = 3
n=2 = 2
n=3 = -1
n=4 = -3
n=5 = -2
On voit que ça revient toujours pareil
modulo 7 :
10^0 = 1
10^1 = 3
10^2 = 3^2 = 9 = 2
10^3 = 3^3 = 27 = -1
10^4 = 2^2 = 4 = -3
10^5 = (10^3)(10^2) = (-1)(2) = -2
10^6 = (10^3)^2 = (-1)^2 = 1
ok ça revient,
généralisation,
tu vois que ça revient pareil à chaque fois qu'on a fait un cycle de 6 entiers,
il s'agira maintenant de démontrer que si
n = 6k alors 10^n = 1
n = 6k + 1 alors 10^n = 3
...
n = 6k + 5 alors 10^n = -2
k étant un entier naturel,
quand tu auras fait ça, tu auras trouver le reste de la division euclidienne de 10^n par 7 pour tout entier naturel n,
(tu auras répondu à la question 1)
ok ?
je comprend pas trop là en fait
par exemple pour n=6k je dois faire 10^6k=1
et puis je fais ça à chaque fois pour les autres
mais comment je trouve le reste à la fin ?
as-tu compris ces calculs là :
modulo 7 :
10^0 = 1
10^1 = 3
10^2 = 3^2 = 9 = 2
10^3 = 3^3 = 27 = -1
10^4 = 2^2 = 4 = -3
10^5 = (10^3)(10^2) = (-1)(2) = -2
très bien, ce sont les questions à poser,
déjà à propos des propriétés sur les congruences, tu dois savoir par coeur que si ALORS pour tout entier naturel non nul n,
maintenant,
10^1 = 10 = 7 + 3 donc
Comme on a
or
et DONC
tu comprends comme ça ?
on continue, on a
or
et DONC
Remarque qui si on demande le reste dans la division euclidienne alors il faut écrire :
plutôt que -1
on continue avec la puissance 4,
on a vu que :
DONC
or
donc (ou -3 c'est pareil)
la puissance 5
(ou -2)
dis moi si ce n'est pas clair,
ok, on peut donc continuer,
Je te rappelle l'énoncé, on cherche les restes dans la division euclidienne de 10^n par 7, pour tout entier naturel n.
On a calculé les premiers restes et on a trouvé :
(toutes les égalités sont modulo 7).
Mais tu vois le souci, il y a une infinité d'entiers naturels, et nous, on ne peut pas continuer comme ça indéfiniment...
Sauf qu'ici, il semblerait en fait que les restes se reproduisent identiquement suivant un cycle de 6.
Ou dit autrement, la suite des restes est périodique, de période 6.
L'idée consiste donc à raisonner modulo 6, il s'agira pour nous d'étudier les différents cas de congruences modulo 6 de n.
(Tu sais en effet que tous les entiers naturels peuvent s'écrire de l'une des façons suivantes : 6k, 6k + 1, 6k + 2, 6k + 3, 6k + 4 ou 6k + 5 ; (k entier naturel)
ou si tu préfères, tous les entiers naturels sont tels que : ou
ou
ou
ou
ou
)
Donc premier cas :
si c'est à dire si n = 6k alors :
(avec ce cas, on vient de donner le reste dans la division euclidienne de 10^n par 7, pour tous les entiers naturels congrus
à 0 modulo 6 (multiples de 6))
en continuant avec les 5 autres cas on aura traité tous les entiers naturels,
si c'est à dire si n = 6k + 1 alors :
...
continue...
d'accord
alors si n=6k+1 alors:
10^6k+1 ≡10^6kx10 ≡(10^6)^kx10 ≡10 ≡3[7]
si n=6k+2
10^6k+2 ≡10^6kx10² ≡1x10² ≡10² ≡3² ≡2[7]
Si n=6k+3
10^6k+3 ≡10^6kx10^3 ≡1x10^3 ≡3^3 ≡6[7]
Si n=6k+4
10^6k+4 ≡10^6kx10^4 ≡1x10^4 ≡3^4 ≡4[7]
Si n=6k+5
10^6k+5 ≡10^6kx10^5 ≡1x10^5 ≡3^5 ≡5[7]
donc le reste c'est 3^n c'est ça ???
non...
si n = 6k, alors le reste dans la division euclidienne de 10^n par 7 est 1
par exemple car 60 = 6*10,
car 24 = 6*4, etc...
si n = 6k + 1, alors le reste dans la division euclidienne de 10^n par 7 est 3
par exemple car 7 = 6*1 + 1,
car 19 = 6*3 + 1, etc...
si n = 6k + 2, alors le reste dans la division euclidienne de 10^n par 7 est 2
par exemple car 122 = 6*20 + 2,
car 308 = 6*51 + 2, etc...
si n = 6k + 3, alors le reste dans la division euclidienne de 10^n par 7 est 6
par exemple car 69 = 6*11 + 3, etc...
si n = 6k + 4, alors le reste dans la division euclidienne de 10^n par 7 est 4
par exemple car 34 = 6*5 + 4, etc...
si n = 6k + 5, alors le reste dans la division euclidienne de 10^n par 7 est 5
par exemple car 11 = 6*1 + 5, etc...
quand tu divises 5 ou 7 par 3 tu obtiens le même reste ?
quand on divise un nombre par un autre il n'y a qu'un reste .... donc c'est le reste
mais si tu prends un autre nombre ...ben tu vas avoir éventuellement un autre reste ... mais qui sera toujours unique
...
et tu fais quoi du début de la consigne ?
il faut déterminer LE reste suivant LES VALEURS DE n,
sinon, réfléchis un instant, si le reste était le même pour toutes valeurs de n on aurait :
10 ≡ 3 [7]
100 ≡ 3 (ce qui est absurde car 100 = 7*14 + 2...)
1000 ≡ 3 (ce qui est absurde car 1000 = 7*42 + 6...)
maintenant qu'on a fait les questions 1 et 2, on peut s'attaquer à 3
sert toi de tout ce que tu as appris,
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