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spé math PGCD PPCM
Bonjour,
Merci de bien vouloir m'aider pour ces deux exerices.
Ex:1
Montrer que, si x et y sont des entiers premiers entre eux, il en est de même des entiers:
3x+4y et 4x+5y.
J'ai pensé à déterminer a et b en calculant le
pgcd de 3x+4y et 4x+5y.( coefficients de la relation de Bezout)mais cela ne marche pas.
Ex:2
Montrer que, pour tout entier n, la fraction (n+3)/(2n+5) est irréductible.
Je ne sais pas comment faire. J'ai penser au fait que 2n ne divise pas n car 2n>n.
Merci de votre aide.
Bonjour
Aide : voir http://melusine.eu.org/syracuse/texmelu/temp/public/119.png
Cordialement Yalcin
Bonjour
Aide : * image externe expirée *
Cordialement Yalcin
Bonjour,
Il s'agit de deux exercices sur le PGCD. Il faut utiliser la prorpiété à l'origine de l'algorithme d'EUclide:
PGCD(m;n) = PGCD(n; m - kn) pour tout entier relatif k
PGCD(4x + 5y; 3x + 4y) = PGCD(3x + 4y ; x + y) (j'ai pris k = 1)
je te laisse continuer (prendre ensuite k = 3) jusqu'à arriver à PGCD(x ; y)
ex.2 Même principe pour montrer que PGCD(2n + 5; n + 3) = 1 (prendre k = 2)
Bon courage
On peut faire plus long mais pas forcément moins interressant. Puisque et
sont premiers entre eux, il existe deux entiers relatifs
et
tels que
.En posant
et
, on a
, ainsi,
et d'après le théorème de Bézout
et
sont premiers entre eux.
Pour le deuxième exercice, en posant et
on a
(*) ce qui prouve d'après le théorème de Bezout que
et
sont premiers entre eux. De ceci tu tires que
et donc
est irréductible.
* la relation (*) est évidente ici mais en toute généralité tu peux la trouver en utilisant la méthode mise en place dans la question 1
Salut.
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