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spé maths
Bonjour à tous!!
j'ai un dm à faire et là vraiment je bloque sur une question alors que j'ai réussi tout le reste....
Merci d'avance pour votre aide! 
Il s'agit d'un exercice sur les matrices
J'ai trouvé quelques formules tout au long de l'exercice
la matrice I correspond à la matrice identité d'ordre 3
I=(1/2) (A-I)*A
B= (1/3)(A+I)
C= (1/3)(2I -A)
B+C= I
2B-C=A
et je dois montrer grâce à des calculs que B²=B et C²=C
c'est pourquoi je vous demande un petit peu votre aide pour m'aider à comprendre comment en faire au moins un des deux! je trouverai ensuite l'autre de la même manière je pense!!
Merciii
oui pas de problème!
merci de m'aider!
on considère la matrice A telle que
0 a a ²
A= 1/a 0 a
1/a² 1/a 0
on considère la matrice identité carré d'ordre 3 I
et la matrice nulle
1. a) calculer A²-A
b) Montrer que I= (A-I)A)/ (2) et que A est inversible. préciser son inverse
Alors je l'ai montre et j'ai donc dit que l'inverse de A était (A-I)/2
2. on considère les matrices B= (A+I)/3 et C= (2I-A)/3
a) montrer que B+C=I et 2B-C= A
b) montrer que B²=B puis C²=C et CB=BC=O
3) a) montrer que pour tout n supérieur à 1: A^n = 2^(n) B + (-1)^(n)C
b) en déduire une expression de A^(n) en fonction de n, I et A
donc en fait moi j'ai un problème au niveau de la question 2b et 3b. mais vraiment pour la question 2b j'ai essaye dans tous les sens et je n'y arrive pas...
1)a) A^2 - A = 2I
1)b) A(A - I)/2 = I donc A est inversible d'inverse A^(-1) = (A - I)/2
2)a) B = (A + I)/3 ; C = (2I - A)/3
donc B + C = 1/3(A + I + 2I - A) = I
et 2B - C = 1/3(2A + 2I - 2I + A) = A
2)b) B = (A + I)/3 donc B^2 = ?
C = (2I - A)/3 donc C^2 = ?
BC = ?
CB = ?
oui mais j'avais essayé avec la a) mais ca me donne
B²= (A+1)/3 * (A+I)/3
je remplace A par A²-2I et j'obtiens donc
B²= (A²-I)/3 * (A²-I)/3
et je ne vois pas en quoi ca ca peut m'aider....
tu veux obtenir du B à la fin, or dans B il n'y a pas de A^2, il y a du A,
il faut donc remplacer A^2 par 2I + A plutôt
luzak
Si
donc
luzak (salut : ))
Si
donc
oui mais si je change A² par A-I je me retrouve exactement dans la même situation que la ligne d'avant
oui mais si je change A² par A-I je me retrouve exactement dans la même situation que la ligne d'avant
c'est A^2 = 2I + A
ensuite le but était de développer,
B^2 = (A + I)^2/9 = (A^2 + 2A + I)/9 = (2I + A + 2A + I)/9 = (3A + 3I)/9 = (A + I)/3 = B
sauf que je n'ai pas le droit d'utiliser les identités remarquables sur des matrices car je ne sais pas si elles commutent
sauf que je n'ai pas le droit d'utiliser les identités remarquables sur des matrices car je ne sais pas si elles commutent
Sinon si tu essayais de développer tu verrais que : (A +I)^2 = (A + I)(A + I) = A^2 + A*I + I*A + I^2 (ici on a pas utilisé d'identité remarquable)
or A*I = I*A = A et I^2 = I d'où (A + I)^2 = A^2 + A + A + I = A^2 + 2A + I
sinon tu as raison, si les matrices ne commutent pas, on n'a pas le droit d'utiliser les identités remarquables,
ici, on la commutativité vérifiée (car le matrice identité commute avec toute matrice carrée), on peut donc utiliser les identités remarquables,
ah d'accord je ne connaissais pas cette propriété!
et du coup on fait la même chose avec C et on a donc
C²= (2I-A)² /9
= (4I-4A+A²) /9
= (4I-4A+2I+A)/9
= (6I-3A) /9
= C
Merci beaucoup!!!
Et aussi je voulais vous demander pour la dernière question si j'ai le droit pour trouver l'expression de A^(n) en fonction de A et I déjà de remplacer B par (A+I)/3 et C par (2I-A)/3 et après ej factorisais par (-1)^(n) sachant que 2^(n)= (-1)^(n) * (-2)^(n)?
sinon tu as raison, si les matrices ne commutent pas, on n'a pas le droit d'utiliser les identités remarquables,
ici, on la commutativité vérifiée (car le matrice identité commute avec toute matrice carrée), on peut donc utiliser les identités remarquables,
salut
ben si .... mais il n'y a plus commutativité !!!
(a + b)(a + b) = a^2 + ab + ba + b^2 est une identité remarquable dans un anneau non commutatif ....
et qui se généralise à (a +b)^n ..... mais sans grand intérêt ... peut-être ....
Pour la question 3)a) tu devrais utiliser ce qui a été démontré précédemment,
à la main :
B^2 = B et C^2 = C et BC = CB = O,
c'est intéressant, car A = 2B - C
d'où, pour n >= 1, A^n = (2B - C)^n = 2^nB^n + (-1)^nC^n + des produits avec BC
or les produits avec BC valent 0 et B^n = B et C^n = C, d'où A^n = 2^nB + (-1)^nC
Si tu as déjà vu le binôme de Newton tu peux t'en servir pour traiter cette question en 1 ligne.
Si tu n'as pas déjà vu le binôme de Newton, tu dois utiliser la récurrence.
A chaque fois que tu vois des propriétés du genre : démontrer que pour tout n ..... si tu ne sais pas démontrer directement à l'aide d'un outil, il faut penser à la récurrence.
3)b) maintenant oui, tu remplaces B = (A + I)/3 et C = (2I - A)/3
oui pour la récurrence j'avais déjà réussi merci quand même!!
mais pour la question 3 b est ce que c'est valable de dire que 2^(n) = (-1)^(n) * (-2^(n))
car je voudrais factoriser autrement le calcul est très lourd...
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