1er cas: x ou y est divisible par 5. On est sous l'hypothèse demandée, pas besoin de détailler.

C'est le deuxième cas qui est intéressant, il s'agit de montrer que si x et y ne sont pas congru à 0 modulo 5 alors z l'est

Pour cela, il faut tester tout les cas possibles.

x peut être congru à 1; 2; 3; 4 modulo 5
x² peut donc être congru à 1;-1;-1;1 modulo 5, pareil pour y²

Tu regardes toute les sommes possibles, et en particulier celles qui sont compatibles avec ton équation

je comprend pas la méthode ( j'ai vraiment rien compris sur la congruence )

Prenons un exemple
x est congru a 4 modulo 5 signifieque le reste de la division par x est 4

Donc   il existe n un entier tel que x=5*n+4

Tu vois que x^2= 25*n^2+2*4*5*n+16=5*(5*n^2+20*n)+16
Tu vois aue le reste de la division de (5*n+4)^2 par 5 est le meme que celui de la division de4^2 par 5.

x4[5]   x^24^2[5]
en l'occurence 4^2=16=5*3+1     donc x^21 [5]

Cette loi se generalise:   xk[y]x^2k^2[x]

De meme, x3[5]   x^29[5]4[5]            car 9=3*3=5+4

De plus, on cherche a travailler avec les plus petits nombres possibles. La congruence sert a faciliter le calcul.
Le reste d'une division par 5 est compris entre 0, et 4 par definition de la division.
C'est pour cela que tout les nombres se reduisent a 5 cas:
x0[5]x0[5]
x1[5]
x2[5]
x3[5]
x4[5]
x1[5]
x2[5]
x3[5]
x4[5]

Desole il y a eu un bug sur la fin, les seules congruences possibles sont 0,1,2,3,4.
Et je ne sais editer un post.

Tu as compris cela deja ou pas?
Je peux donner d'autres exemples si tu le souhaite avant de poursuivre.

d'accord j'ai compris
Si x est congru à 0 alors x² est congru à 0.
Si x est congru à 1 alors x² est congru à 1.
Si x est congru à 2 alors x² est congru à 4.
Si x est congru à 3 alors x² est congru à 4.
Si x est congru à 4 alors x² est congru a 1.
Mais après ça ?

Apres ca, tu obtiens les memes resultats pour y, et z.
Donc pour tout carre d'un entier est congru a -1,0, ou 1 modulo 5

De plus, xa[5]   et   yb[5]  x+ya+b[k]

Petite demo hors sujet :
xa[5]   x=5*n+a,
yb[5]   y=5*m+b,
Donc x+y=5*(m+n) +a+b
Fin du hors sujet

Du coup il faut faire un tableau de tout les cas:

x	y	x^2	y^2	x^2+y^2
0	0	0	0	0
0	1	0	1	1
0	2	0	4	4
0	3	0	4	4
0	4	0	1	0
1	0	1	0	1
1	1	1	1	2
1	2	1	4	0 (1+4=5+0)
1	3	1	4	0

quand x^2+y^2 est congru a 2,ou 3 modulo 5, tu sais que le couple x,y n'est pas solution de ton equation, et le cas n'est pas a considerer.

pk pour la colonne x on a
0
0
0
0
0
1
1
1
1 ?

Ce sont les premiers cas possibles:

x0  et y0
x0 et  y1

...

jusqu'a x4  et y2
x4  et y3
x4  et y4

C'est le debut du tableau a 25 cas

mais c'est super long ! on est vraiment obligé de le faire pour répondre ?

Deja si x0   ou y0 modulo 5,
on rentre dans le cadre de lhypothese, ce ne sont donc pas des cas a etudier, mais juste a preciser sur la copies, en disant qu'on se ramene au cas ou x et y ne sont pas divisibles par 5.

Ce qui laisse 4 possibilites de congruences pour x et y: 1,2,3,4 soit 16 possibilites.

Tu elimine ceux pour lesquels x^2+y^2  congru a 2ou 3 en justifiant qu'elles ne sont pas solutions, comme je l'ai indique qu dessus, et tu vois que les cas restant fournissent  x^2+y^2=z^20 [5]

Mais oui ces 16 cas sont obligatoires. Mais en fait, le plus long c'est d'ecrire le tableau le remplissage est assez rapide.

Navre, je ne vois pour ma part pas d'autre solutions.

x²\y² 0 1 4
0        0 1 4
1        1 2 0
4        4 0 8

si je fait ça c juste ? on dit qu'on enlève 2 et 8 car pas congru, on enlève la 1 ere ligne et 1ere colonne car 0 multiple de 5 il reste plus que 0 0 qui est donc congru et multiple ?

C'est pas mal comme presentation

Il est vrai que c'est plus rapide de considerer les ongruences de x^2 puisqu'il n'y a que 3 possibilites.

Precise bien pour la premiere ligne et la premiere colonne aue la congruence finale (0,1,4) et compatible avec une solution et que x ou y sont divisibles par 5 comme le veut l'hypothese.

Alors que 2 et 8 ne permettront pas de trouver une solution.

Bon fin de redaction

pour la rédaction est ce bon ? :
je fais les congruences je fais le tableau et je dit Pour que n soit un multiple de 5, n doit être congru à 0 (5). Le résulatat doit être congru à 0,1 ou 4 donc on enlève 2 et 8 du tableau. Au moins un entre x,y,z est divisible par 5 car à la 1er ligne 1er colonne (0/1/4) est compatible avec une solutionon a un x²+y²=0, z²=0 ( par hypothèse). Où on a les deux cases avec les deux 0, on a z²=0 qui est un multiple de 5 cela signifie que parmi x,y et z il y a au moins un multiple de 5 ( car z l'est) ou est divisible par 5.

???

Je pense que oui,

Après, j'ai arrêté ce genre de cours depuis un petit bout de temps, et du coup pour mon loisir personnel, je ne rédige plus.

Donc je ne peut être sûre.

Avant le tableau global, montre bien que le carré d'un entier vaut toujours 0,1 ou 4.