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Spé Maths : Congruences et divisibilité.
Bonsoir,
J'ai un contrôle de spé maths demain et je suis actuellement en train de faire des exos pour ... m'entraîner. Je bloque sur cet exercice-là :
"Démontrer que, quel que soit l'entier naturel n, le nombre N = n(8n+1)(13n+1) est divisible par 6."
En réalité, je pensais au départ démontrer ça avec les congruences, en montrant que n(8n+1)(13n+1) est congru à 0 [13] (Je ne sais pas comment utiliser le symbole des congruences ... Vous m'excuserez ^^).
Le problème est que je ne sais pas comment exprimer chaque facteur avec les congruences. Je m'attendais, avec les propriétés des multiplications des congruences, à trouver un reste nul quand je multiplie les trois facteurs en une même relation de congruence mais en vain ...
L'autre méthode à laquelle je pense est de démontrer ça par disjonction des cas mais je ne sais si cette méthode est valable dans ce cas-là. Je cherche le reste de la division euclidienne de N par 6 pour les 6 premières valeurs du modulo : 0 ; 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5.
J'ai eu un reste nul pour ces valeurs, mais je reste tout de même perplexe quant à la validité de cette démarche. Une petite aide ? 
Bonjour,
est congru à 0 [13]
tu veux dire 6 ?
L'autre méthode à laquelle je pense est de démontrer ça par disjonction des cas mais je ne sais si cette méthode est valable dans ce cas-là. Je cherche le reste de la division euclidienne de N par 6 pour les 6 premières valeurs du modulo : 0 ; 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5.
C'est parfait, c'est la bonne methode !
par exemple si n=1 mod 6 alors 8n+1=9=3 mod 6 et 13n+1=14=2 mod6.
Donc le produit vaut 1*3*2=6 =0 mod6
Tu as 6 calculs a faire. la disjonction de cas est une methode tout a fait respectable et tres utile en arithmetique.
Salut,
Montrer qu'un nombre est divisible par 6 , c'est montrer qu'il est divisible par 2 et par 3.
Donc, disjonction des cas :
Si n est pair, alors N est pair
Si n est impair, alors 8n+1 est pair donc N est pair.
Donc N est multiple de 2.
Ensuite, pour montrer qu'il est divisible par 3 , envisage 3 cas :
n = 3k ou n = 3k+1 ou n = 3k+2
Plusieurs manières de faire en effet. En voilà une :
"Démontrer que, quel que soit l'entier naturel n, le nombre N = n(8n+1)(13n+1) est divisible par 6."
N = n(8n+1)(13n+1) = n (6n+ 2n + 1)(12 n + n +1) = n (n+1)(2n+1) + 6 (...)
n (n+1) divisible par 2
Si 3 ne divise pas n (n+1) alors 3 | n+2 => 3| 2n+1
Bonsoir, merci de votre réponse !
Pour répondre à ta question TheMathHatter, oui en fait c'est modulo 6 ... Je ne sais pas à quoi je pensais à ce moment-là ...
J'ai encore une question : En partant de cet exemple, est-ce cela veut dire que pour montrer qu'un nombre A est divisible par un autre B, on peut montrer qu'il est divisible par la décomposition en facteurs premiers de B, et ce aussi nombreux qu'ils le soient ?
J'ai une petite remarque Yzz, corrige moi si j'ai tort, mais je crois que 8n+1 est impair si n est impair à cause du +1.
En tout cas, je vous remercie infiniment pour votre réponse, je pense avoir compris la méthode à faire devant une telle question.
mais je crois que 8n+1 est impair si n est impair à cause du +1.
Oui tu as raison mais ce n'est pas grave car c'est 13n+1 qui est pair
est-ce cela veut dire que pour montrer qu'un nombre A est divisible par un autre B, on peut montrer qu'il est divisible par la décomposition en facteurs premiers de B, et ce aussi nombreux qu'ils le soient ?
En fait plus simplement si N est divisible par a et par b il sera divisible par ab a condition que a et b soient premiers entre eux.
C'est evidemment le cas pour des facteurs premiers mais pas seulement. Par exemple un nombre est divisible par 12 s'il est divisible par 3 et 4. Mais s'il est divisible par 2 et 6 ca ne suffit pas. Un contre exemple est 18.
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