J'ai une devoir maison de maths mais je n'y comprends rien, aidez moi s'il vous plait, je dois le rendre mardi et je ne sais pas quoi faire.
EXERCICE 1.26 (Modèle ouvert de LEONTIEF).
L'économie d'un pays fictif dépend de trois secteurs : l'agriculutre, les biens manufacturés et l'énergie. L'unité de production
est le milliard d'euros.
Pour pouvoir fonctionner, chaque secteur nécessite l'utilisation d'une partie de la production des autres secteurs et
d'une partie de sa propre production. Ces secteurs doivent, en outre, satisfaire les besoins de la population. On parle
alors demodèle ouvert car il y a demande extérieure aux trois secteurs.
Les tableaux des entrées-sorties ci-dessous détaillent ces échanges durant une année :
Agriculture Biens manufacturés Energie Besoins de la population
Produire 1 unité
d'agriculture consomme 0,293 0 0 13,2 unités agriculture
Produire 1 unité de 0,014 0,207 0,017 17,6 unités biens manufacturés
bien manufacturés
consomme
Produire 1 unité 0,044 0,01 0,216 1,8 unité énergie
d'énergie consomme
Afin d'avoir une économie équilibrée, la production totale de ces secteurs doit couvrir les besoins des secteurs et de la
population.
On se propose de déterminer les productions de l'agriculture, des biensmanufacturés, de l'énergie pour que l'économie
soit équilibrée.
On note respectivement x, y et z le nombre d'unités produites par l'agriculture, les biens manufacturés et l'énergie
pendant une année.
1. Expliquer pourquoi 0,014x+0,207y+0,017z+17,6 = y puis écrire des équations analogues pour tous les secteurs.
2. Montrer que le système obtenu s'écrit A ×P +D = P où P =(x), D=(13,2)
(y), (17,6)
(z), (1,8)
et A est une matrice carrée à préciser.
3. Interpréter en termes d'économie lamatrice A×P.
4. Montrer que résoudre l'équation A ×P +D = P revient à résoudre l'équation (I3 − A)×P = D où I3 est la matrice
unité d'ordre 3.
La matrice I − A est appelée matrice de LEONTIEF.
5. On pose L = I3 − A.
Déterminer L, puis utiliser la calculatrice pour résoudre l'équation matricielle L ×P =D.
6. Quelle doit être la production de chaque secteur pour que l'économie soit équilibrée (on arrondira au dixième de
milliard d'euros) ?
Bonsoir Salma294
Plutôt que d'avoir le corrigé comme tu le demandes ici DM de Maths terminale ES spé: Matrice de Léontief, rien de tel que de le résoudre soi-même.
1. L'économie est équilibrée.
Cela signifie que la somme des besoins de tous les secteurs et ceux de la population doit être égale à la production de chaque secteur.
En lisant la 2ème ligne de ton tableau, nous avons les besoins suivants (pour les biens manufacturés) :
Besoins pour l'agriculture : 0,014x
Besoins pour les biens manufacturés : 0,207y
Besoins pour l'énergie : 0,017z
Besoins de la population : 17,6
La somme de ces besoins vaut : 0,014x + 0,207y + 0,017z + 17,6.
Pour l'équilibre de l'économie, cette somme doit être égale à la production y des biens manufacturés.
Ainsi 0,014x + 0,207y + 0,017z + 17,6 = y
Tu peux alors écrire les deux autres équations.
En lisant la 2ème colonne de ton tableau, nous avons les besoins suivants (pour les biens manufacturés) :
Besoins pour l'agriculture : 0 ( l'agriculture ne consomme pas de bien manufacturé , voir tableau)
Besoins pour les biens manufacturés : 0,207y
Besoins pour l'énergie : 0,01z
Besoins de la population : 17,6
La somme de ces besoins vaut : 0 + 0,207y + 0,01z + 17,6= y.
L'énoncé est donc faux.
Je cois qu'il serait bien de lire ce topic... Spe Maths Terminale ES !!
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