on va montrer P1=>P2 et P2=>P1.

P1=>P2

supposons P1:p divise (x^2-x)

p diviese x²-x=x(x-1)

comme x et x-1 sont forcément premiers entre eux car
x-(x-1)=1  donc par application du théorème de Besoult x et (x-1) sont premiers
entre eux.

comme p divise x(x-1)
donc p divise x ou (exclusif) p divise (x-1)

soit nEN* un entier naturel non nul.

x^n-x=x(c^(n-1)-1)=x(x-1)(1+x²+x^3+...+x^(n-2))

si p divise x(x-1) donc p divise x^n-x

donc P1 =>P2

réciproquement

supposons P2: pour tout entier non nul n, on a p divise x^n-x.

x^n-x=x(x^(n-1)-1)

p divise x(x^(n-1)-1)

x et (x^(n-1)-1) sont premier en eux
car si d divise x et (x^(n-1)-1) alors d divise x^(n-1) et (x^(n-1)-1)
donc d divise -1 donc d =1 ou d=-1

comme x et (x^(n-1)-1) sont premier en eux
alors p divise x ou (exclusif) p divise (x^(n-1)-1)

si p divisie x alors p divise x(x-1)=x²-x

si p divise (x^(n-1)-1) d'après le théorème de fermat p divise
x-1
donc p divise x(x-1)=x²-x

en résumé on a montré que P2=>P1

donc P1<=>P2

voila je vous remercie.

merci bocou pour le coup de pouce ja v réussi a demontrer p1 sachant
p2 dune manière bocou plus simple mais p2 sachant p1 jav pas réussi!
tu sa v que pour tout n entier non nul p divise x^n-x donc cela marche
aussi pour n=2 alors p divise aussi x^2-x