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Spécialité Mathématiques
Montrer que A est un entier, soit n un entier naturel, A = (n(n+1)(2n+1)) / 6
Une idée?? :/
bonsoir : )
tu peux par exemple :
montrer que 2 divise n(n + 1)(2n + 1),
montrer que 3 divise n(n + 1)(2n + 1)
et conclure,
montrer qu'en fait A = S [1 <= k <= n] k²
...
pour montrer que 2 divise l'expression, tu as deux nombres consécutifs,
pour montrer que 3 divise l'expression, tu as trois nombres consécutifs ok comme le dit philgr22, mais c'est plutôt caché ici,
indice : 2n + 1 = (n + 2) + (n - 1)
tu peux écrire ton numérateur comme somme de deux entiers de 3 entiers consécutifs,
non, non mdr,je t'en prie..D'ailleurs,j'ai ecrit une betise:il n'y a pas trois nombres consecutifs!
il est un peu tard!!!
je vois pas pourquoi avoir deux nombres consecutifs me permettrait de justifier que 2 divise l'expression comme pour 3 enfaite!! :/
Ah d'accord mais je vois pas du tout quoi faire avec cela enfaite, j'ai l'impression d'être débile pour le coup... 
ne dis jamais que tu es debile!!!
reflechis , si un des trois nombres est pair le produit est miltiple de 2 d'accord?
d'autrepart ,un des trois est obligatoirement multiple de 3 :voir la rearque de mdr .Le produit est donc multiple de 6...
Ah d'accord, difficile de pas se le dire, si je me pose autant de questions alors que mon contrôle est demain j'ai du soucis à me faire... :/
Mais bon je vais essayer de pas lâcher!! D'accord je vois, mais comment prouver que c'est pair alors ou impair?
je te repete tu as toujours un nombre pair quand deux entiers se suivent :ici, c'est n ou n+1 ..Allez, bonne nuit et bon courage!
Mais ça serait possible de me rédiger votre raisonnement par point afin que je comprenne plus facilement s'il vous plait?? Comme ça demain matin je pourrais y jeter un coup d'oeil, ça m'aiderait bcp s'il vous plait???
Mais par récurrence, il faudrait démontrer quelle expression alors : n(n+1)(2n+1) = 2k par exemple et si c'est pas le cas c'est impair donc divisible par 3?
n est un entier naturel quelconque,
n(n + 1) est le produit de deux entiers naturels consécutifs, obligatoirement, l'UN DES DEUX est pair (un multiple de 2).
On t'a demandé plusieurs fois de prendre des exemples :
0 et 1 (deux entiers consécutifs), c'est 0 qui est pair ici,
1 et 2, c'est 2 qui est pair,
...
7 et 8, 8 est pair,
...
-3 et -2, -2 est pair,
-700 et -699, -700 est pair
... si tu prends deux entiers consécutifs, l'un des deux est obligatoirement pair...
Si tu souhaites vraiment une démonstration, on va le démontrer par disjonction de cas.
Tu sais qu'un entier sera toujours : ou bien pair, ou bien impair,
si on réussit à démontrer que pour ces deux cas, le produit de deux entiers consécutifs est pair,
alors on aura démontré que pour tout entier, le produit de deux entiers consécutifs est pair.
Soit n un entier, démontrons que N = n(n + 1) est pair (c'est à dire divisible par 2).
On peut distinguer les cas où n est pair et où n est impair.
Supposons que n soit pair, c'est à dire qu'il existe un entier p tel que n = 2p,
alors N = n(n + 1) = 2p(2p + 1) = 2p' avec p' = p(2p + 1) un entier. Donc N est pair.
Supposons maintenant que n soit impair, c'est à dire qu'il existe un entier p tel que n = 2p + 1,
alors N = n(n + 1) = (2p + 1)(2p + 2) = 2(2p + 1)(p + 1) = 2p' avec p' = (2p + 1)(p + 1) un entier. Donc N est pair.
Finalement, quel que soit l'entier n, n(n + 1) est un entier pair (divisible par 2).
Ensuite, n(n + 1)(2n + 1) = n(n + 1)(n + 2 + n - 1) = n(n + 1)(n + 2) + n(n + 1)(n - 1).
Or n(n + 1)(n + 2) est le produit de trois entiers consécutifs et donc l'un de ces entiers (n OU n + 1 OU n + 2) est divisible par 3.
De même, (n - 1)n(n + 1) est le produit de trois entiers consécutifs et donc l'un de ces facteurs est divisible par 3.
Ainsi n(n + 1)(2n + 1) est divisible par 3 comme somme de deux entiers divisibles par 3.
Conclusion, 2 divise n(n + 1)(2n + 1) et 3 divise n(n + 1)(2n + 1), puisque 2 et 3 sont premiers entre eux on a que 2*3 = 6 divise n(n + 1)(2n + 1),
et A = n(n + 1)(2n + 1)/6 est bien un entier.
Bonjour,
je ne suis pas sûr que quelqu'un qui profère sans réfléchir
c'est impair donc divisible par 3
(il pense que puisque 17 est impair, il est divisible par 3
)
sans même voir l'astuce de 2n+1 = n+2 + n-1 etc, on peut montrer par disjonction de cas que n(n+1)(2n+1) est un multiple de 3 "directement"
n multiple de 3, c'est fini
n multiple de 3 +1, n = 3k+1, alors 2n+1 = 6k+3 = 3(2k+1) multiple de 3
n multiple de 3 +2, n = 3k+2, alors n+1 = 3k+3 = 3(k+1) multiple de 3
donc dans tous les cas un des facteurs n, ou bien n+1 ou bien 2n+1 est multiple de 3
Bonjour,
Sur Z
nous avons : 2 termes n et n+1
consécutifs donc produit pair ,
3 termes consécutifs modulo 3 ,produit divisible par 3 ,
Alain
Ensuite, n(n + 1)(2n + 1) = n(n + 1)(n + 2 + n - 1) = n(n + 1)(n + 2) + n(n + 1)(n - 1).
C'est hyper technique de trouver une expression de ce genre! :O
Ainsi n(n + 1)(2n + 1) est divisible par 3 comme somme de deux entiers divisibles par 3.
Je comprends pas trop cette ci-dessus par contre??
(question surement idiote) Est ce que ça existe de dire, pair x pair x pair donne impair???
Mais merci pour la démonstration pour la divisibilité de 2 et 6 j'ai bien compris, pour 3 un peu moins, enfin disons que je me vois pas transformer une telle expression en plein controle!!
et :
sans même voir l'astuce de 2n+1 = n+2 + n-1 etc, on peut montrer par disjonction de cas que n(n+1)(2n+1) est un multiple de 3 "directement"
n multiple de 3, c'est fini
n multiple de 3 +1, n = 3k+1, alors 2n+1 = 6k+3 = 3(2k+1) multiple de 3
n multiple de 3 +2, n = 3k+2, alors n+1 = 3k+3 = 3(k+1) multiple de 3
donc dans tous les cas un des facteurs n, ou bien n+1 ou bien 2n+1 est multiple de 3
et :
sans même voir l'astuce de 2n+1 = n+2 + n-1 etc, on peut montrer par disjonction de cas que n(n+1)(2n+1) est un multiple de 3 "directement"
n multiple de 3, c'est fini
n multiple de 3 +1, n = 3k+1, alors 2n+1 = 6k+3 = 3(2k+1) multiple de 3
n multiple de 3 +2, n = 3k+2, alors n+1 = 3k+3 = 3(k+1) multiple de 3
donc dans tous les cas un des facteurs n, ou bien n+1 ou bien 2n+1 est multiple de 3
Pourquoi n multiple de 3 c'est fini?? Il faut le démontrer non?? Et pour 2 il faut faire le même raisonnement du coup?
si n est multiple de trois, n est multiple de trois (!!!), le facteur "n" est multiple de 3 et donc le produit est multiple de 3, c'est fini pour ce cas là
et on teste tous les cas par rapport aux multiples e 3
(celui là et les deux autres cas cités)
et il n'y a pas d'autres cas possible
c'est pour ça que cette méthode s'appelle "disjonction de cas" : on teste systématiquement tous les cas possibles
et par rapport aux multiples de 3 il n'y a que trois cas possibles
ceux cités
si dans chacun d'eux la propriété est vraie, alors elle est vraie toujours
c'est assez EVIDENT comme méthode...
et pour 2 le raisonnement a déja été fait en long en large et en travers.
et si on voulait tester une (autre) expression par rapport aux multiples de 7, il y aurait 7 cas possibles
ou bien n est un multiple de 7
ou bien c'est un multiple de 7 +1
.. etc
ou bien c'est un multiple de 7 +6
et on aurait ainsi épuisé la totalité de tous les cas possibles par rapport à 7
etc etc
Bonjour,
Autrefois il n'était pas question de méthode par disjonction de cas,
celle-ci ,si j'ai bien compris,consiste à considérer tous les cas possibles
ou ensembles de cas possibles (multiples de 7 avec reste ...) ,c'est une méthode
possible lorsque le nombre de cas à examiner est peu élevé,
Alain
Bonjour
pour la récurrence, tu poses A(n) = n(n+1)(2n+1)/6, ton hypothèse de récurrence sera : A(n) est un entier
tu vérifies que c'est vrai pour n=0, et ensuite tu montres que si c'est vrai pour n, c'est encore vrai pour n+1, par exemple en calculant A(n+1) - A(n), pour voir ce qu'on ajoute pour passer de A(n) supposé entier à A(n+1).
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