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Spécialité maths - nombres premiers

Posté par
Nix2234
29-12-18 à 13:35

Bonjour,

Je me suis inscris sur le forum rien que pour cet exercice, je cherche depuis le début des vacances et je n'arrive toujours pas à comprendre !

Voici l'énoncé :

1°) Résoudre les équations (n-2)2-8=1 et (n+2)2-8=1.

2°) En déduire les entiers naturels n pour lesquels n4-24n2+16 est premier.

Alors pour la 1°) aucun problème, on a d'une part S={-1;5} et S={-5;1}

Mais pour la question 2°) je ne trouve aucune déduction !

J'ai juste remarqué que n4-24n2+16 = ((n-2)2-8)*((n+2)2-8) et que les solutions tels que n⁴... est premier sont 5 et -5.
Mais je ne comprends pas comment l'expliquer et je ne sais pas si ce sont les seules solutions.

Merci d'avance pour votre aide.

Posté par
Glapion Moderateur
re : Spécialité maths - nombres premiers 29-12-18 à 13:42

Bonjour, pour que n4-24n2+16 soit premier, il faut donc que soit (n-2)2-8 = 1 soit que (n+2)2-8 = 1 (parce que sinon ça sera un produit de deux nombres différents de 1 et il ne sera pas premier)

et tu as très justement montré que l'on avait (n-2)2-8 = 1 ou (n+2)2-8 = 1 que si n = 1 ou 5 donc voilà tu as la réponse.

Posté par
Nix2234
re : Spécialité maths - nombres premiers 29-12-18 à 13:53

Oh ! Tout bêtement c'est vrai ! ^^'

Bon bâ merci beaucoup

J'avais pas fais le lien avec la décomposition en facteur.

Bonnes fêtes !

Posté par
mathafou Moderateur
re : Spécialité maths - nombres premiers 29-12-18 à 14:04

Bonjour,

à noter que c'est une condition nécessaire (et insuffisante)
encore faut il que l'autre facteur soit premier

ici c'est facile de compléter car il n'y a que 2 valeurs à essayer ...

Posté par
Glapion Moderateur
re : Spécialité maths - nombres premiers 29-12-18 à 14:26

ha oui c'est vrai, il faut que l'autre facteur soit premier. merci mathafou

Posté par
Nix2234
re : Spécialité maths - nombres premiers 29-12-18 à 14:54

Mais la réponse n'est pas déjà trouvée ? On a n⁴-24n²+16 = ((n-2)²-8)*((n+2)²-8)
Donc soit (n-2)²-8=5 et (n+2)²-8=1
Ou (n-2)²-8=1 et (n+2)²-8= 5 ?

C'est pas ça ?

Posté par
Nix2234
re : Spécialité maths - nombres premiers 29-12-18 à 14:58

Je crois que je dis des bêtises, les seuls choses a faire c'est essayer avec n= -1 ; -5 ; 1 et 5 c'est tout ?

Et on tombe sur deux fois 41 le reste est négatif.

Posté par
mathafou Moderateur
re : Spécialité maths - nombres premiers 29-12-18 à 15:09

pour que ((n-2)²-8)*((n+2)²-8) soit premier il est nécessaire que l'un de ces deux facteurs soit 1
donc il est nécessaire que n =-1, -5, 1 ou 5

mais il faut aussi que l'autre facteur soit premier

donc on a 4 valeurs à essayer (dans Z) ou deux (dans N), tu ne dis pas dans quel ensemble on se place.

n = -1 , le premier facteur vaut 1, le second vaut -7 qui est premier dans Z
si on est dans N, la valeur n = -1 n'étant pas dans N ne serait même pas à essayer.

etc

Posté par
mathafou Moderateur
re : Spécialité maths - nombres premiers 29-12-18 à 15:13

dans Z c'est même pire :
il est nécessaire que l'un de ces deux facteurs soit 1 ou -1

(n-2)²-8 = 1 donne n = -1 ou 5
(n-2)²-8 = -1 n'a pas de solutions dans Z
donc ça ne rajoute rien de plus mais cela doit figurer explicitement dans la rédaction

Posté par
Nix2234
re : Spécialité maths - nombres premiers 29-12-18 à 15:14

Exact, dans l'énoncé du 2°) ->
En déduire les entiers naturels n pour lesquels...

Donc on est bien dans N,
Donc on a soit n=1 soit n=5 !

Je crois que tout est bon !

Merci pour vos investissements !

Posté par
mathafou Moderateur
re : Spécialité maths - nombres premiers 29-12-18 à 15:21

n=1 donne -7 qui n'est pas dans N

Posté par
Nix2234
re : Spécialité maths - nombres premiers 29-12-18 à 15:30

👍

Donc quand on nous demande les entiers naturels n, il n'y en a qu'un seul ?

Posté par
mathafou Moderateur
re : Spécialité maths - nombres premiers 29-12-18 à 15:35

Oui. si on reste dans N pour le résultat aussi et pas seulement pour n

Posté par
Nix2234
re : Spécialité maths - nombres premiers 29-12-18 à 15:49

Oui, dans la leçon on a dit qu'on ne considérait que les nombres premiers positifs. ☺

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Spécialité maths - nombres premiers 29-12-18 à 16:06

Bonjour,
@mathafou,
Même si n est dans , les facteurs (n-2)2-8 et (n+2)2-8 peuvent être négatifs.
Si p est premier, le produit (-1)(-p) est premier.
Ne faut-il pas justifier que les 2 facteurs, (n-2)2-8 et (n+2)2-8 , ne peuvent pas être égaux à -1 ?
Même si c'est immédiat.

Posté par
mathafou Moderateur
re : Spécialité maths - nombres premiers 29-12-18 à 16:55

déja suggéré d'examiner le cas où un facteur = -1

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Spécialité maths - nombres premiers 29-12-18 à 17:14

Le cas a été plus que suggéré, car en rouge
Mais pour le cas où on serait dans .
Or on pourrait avoir n ainsi que n4-24n2+16 dans avec n4-24n2+16 produit de 2 facteurs négatifs.

Par exemple, avec n2-12n+27 = (n-3)(n-9)
Bon, on peut dire qu'il suffit d'écrire n2-12n+27 = (3-n)(9-n)

Posté par
flight
re : Spécialité maths - nombres premiers 29-12-18 à 17:49

salut

sans les indications du (1) ont peut facilement trouver que  
n4 -24n²+16 =(n²-4)²-(4n)²=  (n²-4n-4)(n²+4n-4)    en mettant l'expression sous la forme a²-b²...

Posté par
carpediem
re : Spécialité maths - nombres premiers 29-12-18 à 17:57

malheureusement facilement n'est plus du niveau terminale ... ou

Posté par
Nix2234
re : Spécialité maths - nombres premiers 29-12-18 à 17:59

Personnellement je l'avais trouvé ça aussi mais ça ne m'avancait pas plus

Posté par
flight
re : Spécialité maths - nombres premiers 29-12-18 à 18:06

un nombre premier a pour seule decomposition  lui meme fois" 1"  donc  dans  

n4 -24n²+16 =(n²-4)²-(4n)²=  (n²-4n-4)(n²+4n-4)    

on test  (n²-4n-4) = 1    et dans un second temps on test  (n²+4n-4)=1

Posté par
flight
re : Spécialité maths - nombres premiers 29-12-18 à 18:07

..au final ca doit revenir à ce qu'on demande dans le (1)

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Spécialité maths - nombres premiers 29-12-18 à 18:21

J'insiste :
Et pourquoi pas n²+4n-4 =-1 ? avec n²-4n-4 = -5 ?

Posté par
carpediem
re : Spécialité maths - nombres premiers 29-12-18 à 19:46

de toute façon n^2 - 4n - 4 = (n - 2)^2 -8 et n^2 + 4n - 4 = (n + 2)^2 - 8

donc bien sur que ça revient au même : il n'y a pas 36000 facteurs distincts (pour leur écriture si puisqu'elle peut même y en avoir une infinité)

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Spécialité maths - nombres premiers 30-12-18 à 08:21

Bonjour,

Citation :
un nombre premier a pour seule decomposition lui meme fois" 1"
Je ne suis pas d'accord.
Voici une autre question du même genre :
Déterminer les entiers naturels n tels que (n2 -6n +4) (n2 +8n -12) soit un entier naturel premier.
Que trouveriez-vous ?

Posté par
carpediem
re : Spécialité maths - nombres premiers 30-12-18 à 09:15

p = 1 * p est l'unique décomposition d'un premier dans N

p = 1 * p = (-1) * (-p) sont les décompositions d'un premier dans Z


p est premier si et seulement si -p est premier ... mais on n'utilise rarement les premiers négatifs ... puisqu'on ne change rien en multipliant par (-1)^2

dans ton exemple on doit théoriquement étudier les deux décompositions dans Z : 1 * p et (-1) * (-p) (et en permutant) qui peuvent effectivement donner des entiers naturels

Posté par
flight
re : Spécialité maths - nombres premiers 30-12-18 à 10:09

salut  sylvieg , je me suis contenté de travailler dans N  peut etre aurait il fallu aussi exposer le cas p = 1 * p = (-1) * (-p)  comme l'a exposé carpediem ....ca je sais pas ..

Posté par
flight
re : Spécialité maths - nombres premiers 30-12-18 à 10:20

...pour ton exemple  (n^2 -6n +4) (n^2 +8n -12)
les cas   (n^2 -6n +4)=1   ou  (n^2 +8n -12) =1 ne retournent pas de solution dans N ...
les cas   (n^2 -6n +4)=-1   (retourne deux solutions  n=1 ou n =5), pour  (n^2 +8n -12) =-1
pas de solutions entieres

pour   (n^2 -6n +4)=-1 , si n =1   le produit (n^2 -6n +4) (n^2 +8n -12)  devient (-1)*(-3)=3
pour   (n^2 -6n +4)=-1 , si n =5   le produit (n^2 -6n +4) (n^2 +8n -12)  devient (-1)*(53)=-53

sauf erreur ..

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Spécialité maths - nombres premiers 31-12-18 à 07:27

D'accord. Donc , pour mon exemple avec N = (n2 -6n +4) (n2 +8n -12) :
N est un entier naturel premier pour la seule valeur 1 de l'entier naturel n.

Pour l'exercice de Nix2234 :
N = n4-24n2+16 = ((n-2)2-8) ((n+2)2-8)
Il est nécessaire, à un moment ou à un autre d'éliminer (n-2)2-8 = -1 ainsi que (n+2)2-8 = -1 .
C'est ce que j'essaye de faire comprendre depuis 2 jours :

Citation :
Ne faut-il pas justifier que les 2 facteurs, (n-2)2-8 et (n+2)2-8 , ne peuvent pas être égaux à -1 ?
Même si c'est immédiat.

Posté par
flight
re : Spécialité maths - nombres premiers 31-12-18 à 10:17

salut
Sylvieg , oui d'autant plus que  (n-2)²-8 = -1  ainsi que  (n+2)²-8 = -1  ne fournissent pas de solutions entieres



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