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Spécialité maths term s
Bonsoir, j'y arrive pas à ces exercices, si quelqu'un pourrait m'expliquer le raisonnement, merci !
Exercice :
1. Démontrer que les nombres 2k + 1 et 9k + 4 sont premiers entre eux.
2.a) Démontrer que le pgcd des nombres 2k - 1 et 9k + 4 est nécessairement 1 ou 17
b) Etablir l'affirmation suivante : pgcd (2k-1 ; 9k+4) = 17 <=> k congru 9 (mod 17)
Merci d'avance c'est pour Vendredi j'ai besoin de vous du coup, merci beaucoup, bonne soirée!!
*** message dupliqué ***
salut
pgcd(9k+4,2k+1) = pgcd(7k+3,2k+1) = pgcd(5k+2,2k+1) = pgcd(3k+1,2k+1) = pgcd(2k+1,k) = pgcd(1,k)= 1 .
donc 9k+4 et 2k+1 sont premiers entre eux
sans quoi on peut aussi utiliser le theoreme de bezout A et B premiers entre eux il existe un couple d'entiers relatifs U et V tels que AU+BV=1
soit -2(9k+4) + 9.(2k+1) = 1 avec U =-2 et V = 9
pour la seconde partie
17|2k-1 --> 2k-1 =17.p
17|9k+4 --> 9k+4 =17.p'
donc
2k=1[17]
9k=-4[17]
soit
7k=-5(17]
comme 35=1(17] alors
35k=k[17] et 7.5.k = -5.5[17) soit 35k=-25(17] avec les relations: 35k=k[17] et 35k=-25(17] on obtient
k=-25(17] soit k=-8[17] soit k = 17p-8 en effectuant un petit chgt de variable en posant p=j+1 il vient
k=17(j+1)-8 = 17j+9 donc k=9[17]
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