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Spécialité [TS]
Bonsoir, pourriez vous m'aider pour cet exercice, svp, merci d'avance.
1) Si p et q sont deux entiers naturels non nuls, comment peut-on écrire les sommes
et
En déduire que est divisible par
et
.
2) Démontrer soigneusement que: si n est un nombre composé alors l'est aussi.
3) Ecrire la contraposée de la propriété énoncée au 2). Cette contraposée se nomme la propriété de Mersenne. (On rappelle que si une propriété est vraie, sa contraposée l'est aussi.)
4) Ecrire la réciproque de la propriété de Mersenne. Calculer . Cette réciproque est-elle vraie?
Bonjour,
Pour la 1.
Pose A = 2p, tu remarqueras que S est la somme des termes d'une suite géométrique que tu dois pouvoir calculer.
C'est la même chose pour S' en prenant B = 2q
Dire que 2pq-1 est divisible par 2p-1 c'est dire que est un entier. Aide toi de S. Idem pour l'autre divisibilité.
2. C'est une conséquence directe de 1. Si n est composé alors n = pq. Si tu connais un diviseur de 2pq - 1 qui soit DIFFERENT de 1 et de 2pq - 1 alors ton nombre n'est pas premier.
3. Contraposée (voir fiche de cours de 1ere sur ce site)
4. Réciproque. Je te laisse l'écrire et vérifier si elle peut être vraie en cherchant les diviseurs de 211-1
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