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spectre approché d'un opérateur
Bonsoir,
J'ai quelques soucis pour l'exercice suivant :
Soit . On appelle valeur propre approchée de
tout
pour lequel il existe une suite
d'éléments de
telle que :
dans
.
On note : l'ensemble des valeurs propres approchées de
.
1) Soit . On pose :
.
(a) Montrer que si et seulement si
.
(b) Montrer que est 1-lipschitzienne.
2) Montrer que si , alors
.
3) Montrer que est compact et que :
.
4) Prouver que contient la frontière de
, ie :
5) (a) Soit non inversible. Montrer que s'il existe
de sorte que pour tout
, on ait
, alors
n'est pas dense dans
.
(b) Montrer que : . A-t-on l'égalité ?
6) Supposons que soit une isométrie. Montrer que :
.
7) Donner des exemples de pour lesquels les inclusions de
soient strictes.
__________________________________________________________________________________________________
Voici ce que j'ai réussi à faire jusqu'à maintenant :
1) - Si , alors la caractérisation de la borne inférieure nous dit que pour tout
, il existe
vérifiant :
.
En posant , pour
, on construit une suite d'élément de
qui vérifie ce qu'on veut.
- Si , alors pour tout
, il existe
tel que pour tout
, on ait :
et donc la caractérisation de la borne inférieure est vérifiée.
(b) Je suis probablement rouillé en ce qui concerne la manipulation des ....
2) Pour celle là c'est bon, j'ai montré qu'on avait les inégalités dans les deux sens.
et pour le reste c'est le néant abyssal ....
salut
qui est E ?
qui est R_z(T) ?
que c'est chiant toutes ces lettres grecques pénibles à écrire (en latex ou naturel) ainsi que tous ces indices ...
revois la dernière ligne de ce que tu as répondu à 1/a
tout d'abord remarquer que :
donc trivialement
réciproquement si alors la définition de la borne inf nous dit que pour tout n il existe x_n dans
telle que
et par définition d'une norme on en déduit que
1b/
pour tous complexes y et z et tout x dans E (ou S_E) l'inégalité triangulaire inverse nous permet d'écrire :
on conclut en prenant x dans S_E
Bonjour Carpediem,
Désolé de l'heure tardive à laquelle je répond...
Je commence par préciser les notations ici :
- E est un espace de Banach quelconque.
- est l'ensemble résolvant de
, ie :
- est la résolvante de T associé à
, ie :
.
- est le spectre de
, ie :
- est le spectre ponctuel de
, ie :
Et enfin, je finis par annoncer que finalement j'ai réussi à répondre à toutes les questions. Mais je prends bonne note de tes remarques pour la première question.
Merci beaucoup! 
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