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Spectre d'endomorphisme

Posté par
charles1812
11-02-19 à 10:11

Bonjour,
j'ai une petite question: Comment faire pour montrer que Sp(f)≠?

On sait que f³=f² , f≠idE , f²≠0L(E) , f²≠f, et k fk=fofof...of, f⁰=idE.

merci d'avance pour votre aide...

Posté par
jsvdb
re : Spectre d'endomorphisme 11-02-19 à 10:19

Bonjour charles1812.
Si tu as un endomorphisme de E vérifiant f^3 = f^2 alors P(X) = X^3-X^2=X^2(X-1) est un polynôme annulateur de f.
Par conséquent, ses valeurs propres sont 0 et 1.

Posté par
charles1812
re : Spectre d'endomorphisme 11-02-19 à 10:42

Bonjour à vous et merci pour votre réponse.
Effectivement j'avais bien trouvé un polynôme annulateur et donc les valeurs propres de f mais je voulais trouver une autre façon de prouver que le spectre n'est pas vide car dans mon énoncé, il est écrit dans une question suivante " à l'aide d'un polynôme annulateur (...)" donc je suppose qu'on peut le prouver autrement mais je ne vois pas comment..?

De plus comment prouver que Sp(f) {0,1] mais pas encore que Sp(f)={0,1} ?
Je pense qu'il faut utiliser le cours mais je ne vois pas quoi...

Merci d'avance

Posté par
jsvdb
re : Spectre d'endomorphisme 11-02-19 à 10:48

Alors précise dans ce cas qu'il ne faut pas utiliser un polynôme annulateur pour la première question.

Si f^3 = f^2 alors pour tout x tu as f(f^2(x)) = f^2(x) donc 1 est vp de f

Posté par
carpediem
re : Spectre d'endomorphisme 11-02-19 à 11:33

salut

si f^3 = f^2 alors f[f^2(x) - f(x)] = 0

et d'après tes hypothèses 0 est valeur propre de f

Posté par
jsvdb
re : Spectre d'endomorphisme 11-02-19 à 11:44

Ah oui, c'est amusant, j'ai été capable d'aller chercher f^2 \neq 0 mais j'ai pas su exploiter f^2\neq f
Sans doute ça devait être trop compliqué de combiner avec f\neq Id pour aboutir au fait que 0 est vp

Posté par
carpediem
re : Spectre d'endomorphisme 11-02-19 à 11:50

j'avoue que ta réponse  inspiré la mienne

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