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Spectre discret de l'opérateur impulsion sur R

Posté par
Mayssam
20-06-18 à 12:02

Bonjour,

On considère l'opérateur d'impulsion sur R en mécanique quantique: cet opérateur est donné par p=\frac{h}{i}\frac{\partial }{\partial x} , il agit sur l'espace de Hilbert H= L²(R) et admet le domaine de définition maximal
D_{max}(P) = \left\{\psi \in L²(R)\mid \psi \right\ dérivable sur R et \int_{-inf}^{+inf}{\mid \psi '(x)^{2}}\mid dx<inf

On admet que l'opérateur ainsi défini est hermitien
Déterminer le spectre discret de cet opérateur

J'ai fais ceci
p\psi =\lambda \psi
\frac{h}i{}\frac{\partial \psi }{\partial x} = \lambda \psi
\psi '(x) = \frac{i\lambda }{h}\psi (x)
ln(\psi )= \frac{i\lambda x}{h}+ cst
\psi (x)=e^{\frac{ix\lambda }{h}+c}

Je n'ai pas de conditions initiales donc je n'arrive pas à trouver les valeurs propres de cet opérateur et prouver qu'il s'agit d'un spectre discret
Merci pour votre aide

Posté par
carpediem
re : Spectre discret de l'opérateur impulsion sur R 20-06-18 à 12:44

salut

ce n'est pas tant les conditions initiales qui importent ... mais plutôt le fait qu'une éventuelles solutions soit un élément de L^2 et appartienne au domaine de définition de l'opérateur ...

Posté par
Mayssam
re : Spectre discret de l'opérateur impulsion sur R 20-06-18 à 14:15

Je n'ai pas compris ta réponse...
Je ne vois pas comment déterminer les valeurs propres sans CL

Posté par
jsvdb
re : Spectre discret de l'opérateur impulsion sur R 21-06-18 à 09:28

Bonjour Mayssam.

Le calcul que tu as effectué ne donne qu'une condition nécessaire sur la forme de \psi.

Prend par exemple \lambda = \frac{h}{i} alors \psi(x) = K\exp(x) . Tu vois que sauf pour K = 0,~\psi n'est pas dans D_{\text{max}}(P).

Il va donc falloir que élagues pas mal de valeur de \lambda. Et ce qui reste doit former un ensemble discret de \C. Les conditions initiales n'ont aucune importance ici pour répondre à la question.



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