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Sphère et boule, adhérence et intérieur
Bonjour à tous,
je suis face à un exercice dans lequel je bloque à partir de ce qui suit. Je précise que l'exercice à d'autres questions avant, mais que je ne vais pas vous exposer ici. Je rappelle juste que, par convention, écrire y
B(x,r) signifie que y est dans la boule ouverte de centre x et de rayon r. On écrit en indice un f si la boule est fermée.
E est un R espace vectoriel
||.|| est une norme sur E et d est la distance telle que d(x,y)=||x-y||
Soit r>0. On pose S={xE | d(x,0)=r}
Montrer que S 
Adhe(B(0,r))
Adhe(E/Bf(0,r)), et en déduire que pour tout xE, r>0, on à Adhe(B(x,r))=Bf(x,r)) et Inte(B(x,r))=B(x,r)
Merci à vous pour l'aide !
salut
B(0, r) = {x E / d(0, x) < r} => adh [B(0, r)] = { x E / d(0, x) 
r}
d'autre part E/Bf(0, r) = {x E / d(0, x) > r} => adh [E/Bf(0, r)] = ...
Bonsoir.
Comment vérifier :
salut
B(0, r) = {x
E / d(0, x) < r} => adh [B(0, r)] = { x E / d(0, x) r}
d'autre part E/Bf(0, r) = {x
E / d(0, x) > r} => adh [E/Bf(0, r)] = ...C'est à dire comment être sûr que l'adhérence d'une boule ouverte est cette même boule mais fermée ? Je le conçois visuellement bien sûr mais en théorie ?
Merci encore
Où bloques-tu exactement ?
De plus qu'elle est cette notation E/Bf(0,r) ?
L'adhérence de B(0,r) est, il me semble, l'ensemble fermé le plus petit qui contient B(0,r). Je vois bien que c'est Bf(0,r) mais comment le démontre-t-on ?
Merci
Salut !
Déjà, il est clair par définition que puisque
est un fermé qui contient
.
Montrons maintenant que tout point de la sphère de centre 0 et de rayon r (notée )est dans
.
Soit et
Soit alors
Montre que .
Conclure.
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