spirale polygonale

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spirale polygonale
Posté par 
mathafou   06-07-23 à 18:59
Bonjour,

extrait de vieilles archives :

On considère la ligne polygonale infinie inscrite dans un carré de côté 1

dans laquelle les points successifs sont le milieu d'un segment précédent comme sur la figure

déterminer le point limite de cette suite de points

on pourra se contenter de calculer informatiquement une valeur approchée (facile)

ou chercher à démontrer une valeur exacte (un peu plus difficile)

question subsidiaire : la limite de la longueur de cette ligne
 Posté par 
carpediemre : spirale polygonale  06-07-23 à 20:12
salut

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soit a l'affixe du oint A dans le repère (A0, B, D)

en ajoutant membre à membre il reste : 

or la suite  converge vers le point A d'affixe a donc 

pour les longueurs c'est plus ch... 
 Posté par 
mathafou re : spirale polygonale  06-07-23 à 20:20
bonjour carpediem

oui pour le point limite.

et bien d'accord pour la longueur...

Citation :
on pourra se contenter de calculer informatiquement une valeur approchée

(il en faut pour tous  )

(et puis le Pb d'origine dans mes archives ne demandait pas la longueur non plus...)
 Posté par 
dernyre : spirale polygonale  06-07-23 à 21:56
Bonsoir

Pour la longueur

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simplement avec Excel, jusqu'à 1000 segments on arrive à 7.323048195
 Posté par 
dernyre : spirale polygonale  06-07-23 à 22:10
Trouver une valeur exacte me semble impossible pour la longueur. Il faudrait ajouter des longueurs "pythagoriciennes" différentes sans vraiment de loi régulière. C'est encore plus difficile que si l'on faisait "simplement" la somme des racines des nombres en fonction de n nombres (voir "petit service" dans la rubrique autre.
 Posté par 
mathafou re : spirale polygonale  06-07-23 à 22:13
Bonjour derny

je trouve pareil
 Posté par 
dpire : spirale polygonale  07-07-23 à 15:45
Bonjour,

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Pour le point "final" je trouve comme coordonnées:

x=0.571428571428571

y=1-x

Pour la longueur 14 : 6.312699343

pour la "longueur limite" 7.5230481953757
 Posté par 
mathafou re : spirale polygonale  07-07-23 à 16:50
oui.

avec des valeurs numériques, on remarque que 1/7 = 0.142857142857... (décimales connues ...car "derviche", et connues de 22/7 )

ce qui permet de conjecturer des valeurs exactes.
 Posté par 
dpire : spirale polygonale  07-07-23 à 17:30
En bidulant...

x=0.57+ 1/700   et y =0.43-1/700
 Posté par 
mathafou re : spirale polygonale  07-07-23 à 17:41
on appelle "nombre derviche" un nombre qui "tourne" sur lui même quand on le multiplie 

1/7 = 0.142857142857...

2/7 = 0.285714285714...

3/7 = 0.428571428571...

4/7 = 0.571428571128...

etc 

la période dès le départ est toujours formée des mêmes chiffres 142857  qui "tournent" cycliquement 

il est donc ici inutile de faire des sommes de fractions et de séparer le "début" du développement décimal du reste
 Posté par 
dpire : spirale polygonale  07-07-23 à 18:06
Et ben voilà 
 Posté par 
Imodre : spirale polygonale  07-07-23 à 19:46
Bonjour à tous .

Je connaissais l'exercice ( la première question ) , bien moins les derviches tourneurs . Je ne suis pas lancé dans le calcul de la longueur avec l'approximation 22/7 car je n'ai pas la moindre idée de son impact sur le résultat final .

Imod
  Posté par 
dpire : spirale polygonale  08-07-23 à 08:24
Ce qui est remarquable c'est que les derviches tournent dans une

spirale