Bonjour,

pour ma part j'ai des gros doutes

il semble déjà impossible que le pentagone central ne soit pas un morceau entier de l'heptagone
en d'autres termes l'aire de l'heptagone est 6 fois celle du pentagone
ce qui en définit les tailles relatives

reste à trouver une position et orientation du pentagone pour que les 5 autres morceaux aient aussi la même aire ...



dans cette figure d'exemple (les deux centres coïncident) la partie verte est bien égale à la jaune, mais pas la partie orange
en décalant le centre et corrigeant l'orientation, on arrive à rendre ces trois parties égales. quant aux trois dernières

Bonjour
La construction de la toile pentagonale ne pose pas de problème.
Par contre celle de l'heptagone d'aire multiple de 6 ne peut se faire exactement avec la règle et le compas....
Par contre sur une figure très approchée on ressent que c'est possible  pour les quadrilatères mais quid du polygone  à 5cotés.
Le fait de décentrer décalera la symétrie ce qui semble compliquer.

Je propose de donner un exemple coté et de chercher la meilleure
solution approchée...

Si on remplace l'heptagone par un hexagone , la construction est facile et ça marche chaque fois qu'il y a un écart d'une unité entre le nombre de côtés des deux polygones . On place cinq points sur la frontière de l'hexagone dont un sommet de façon à ce que le périmètre soit ainsi partagé en cinq parts égales . En reliant ces points au centre de l'hexagone , on partage celui-ci en cinq parts de même aire et de même angle au centre . Il n'y a plus qu'à placer correctement le pentagone de même centre pour conclure . Quand l'écart entre le nombre de côté est au moins égal à deux , une des parts partant du centre ne coupera pas deux côtés consécutifs et même si on conserve l'égalité des aires ont perd celle des angles .

Imod

on ne demande pas de construire mais de prouver par calcul la possibilité ou non de l'égalité des aires
cos (2pi/7) est racine d'un certain polynome de degré 3 etc...
ici il s'agirait de prouver qu'un certain systéme de 4 équations à 3 inconnues a ou non une solution.

d'ailleurs pourquoi se limiter à la règle et au compas ?
déja Archimède proposait une méthode, que l'on peut traduire en instrument mécanique, pour trisecter un angle, ce qui suffit pour construire exactement un heptagone
voire même le pentasecteur de l'APMEP :
les pliages de papier conviennent aussi puisqu'ils permettent la trisection des angles

pour une solution approchée, l'utilisation d'un logiciel suffit
mais la position et orientation étant définie par trois paramètres, il va falloir drôlement ruser...

En effet

Ce problème est loin d'être facile

Imod

en fait quel que soit le polygone à découper on a toujours ce système de 4 équations à 3 inconnues.
système d'ailleurs qui ne se laisse pas facilement écrire.
pour une solution approchée on peut sans doute utiliser une méthode par relaxation(*), vu que pour chaque valeur de position orientation (x,y,alpha) il est "facile" (sic) de calculer numériquement les 4 aires concernées

(*) dans le genre de découpe d'un disque

Puisque je me suis planté dans toutes les largeurs , autant livrer le problème initial qui attend une solution précise , il doit donc y avoir un angle d'attaque qui rend la solution possible assez simplement .



D'ailleurs , après réflexion la question 2 n'est pas franchement claire   

Imod

comme le problème est ainsi de même nature quel que soit le polygone à découper (sauf un pentagone, trivial), on peut déja simplifier pour découper un hexagone, voire même un carré
découper l'heptagone sera juste écrire dans le programme 2pi/7 au lieu de 2pi/6.

étant donné l'hexagone d'aire 6, et même constructible, le pentagone d'aire 1 est de dimensions imposées, et même constructible.
il s'agit donc d'en déterminer la position X(x, y) et l'orientation alpha de (XA) pour que les aires de P1, P2, P3 soient égales à 1



3 équations, 3 inconnues, donc très vraisemblablement possible. reste que l'aire de P4 = 1 tient du miracle !
il est inutile de considérer l'aire de P5 car si les 5 aires sont égales à 1, la 6ème (ce qui reste) aussi

reste une solution simplement approchée minimisant les écarts d'aires ...

la question 2 parle bien d'une solution approchée !!
même si sa formulation est pour le moins fantaisiste

la question 2 parle juste de l'orientation, les centres coïncident.
dans ces conditions il est facile de simuler ça sur geogebra (1 seul paramètre) et de constater que le minimum d'écart (racine de la somme des carrés des différences d'aires) est lorsque une ligne de découpe passe par un sommet
aires 0.991, 1.019, 0.978, 1.015, 0.998 écart 0.034

Avec c du pentagone =1 on "construit" un heptagone de coté
1.6854 concentrique et on trouve des aires voisines de 1
Je ne pense pas qu'on fasse mieux que mathafou ,en faisant tourner.

pardon
des aires voisines de 1.72

"en faisant tourner" on obtient moins bien
la question est peut on faire mieux en décalant les centres...

j'ai cherché à généraliser avec un m-gone à tiges, découpant un n-gone en m+1 parties souhaitées égales
le cas m = n est trivial par symétrie
le cas le plus simple est un triangle d'aire 1 découpant un carré en 4 parties de même aire
on réduit alors à seulement deux égalités (p1 = p2 = 1) pour 3 paramètres (x, y, alpha)
en ajustant on y arrive (à peu près) mais les deux polygones ne sont pas concentriques.



si on impose qu'ils le soient on n'obtient jamais l'égalité des aires, quel que soit l'angle de rotation
avec m = 4 (un carré découpant un n-gone en 5) bien qu'on ait autant d'égalités (équations) que de paramètres (inconnues), on n'arrive pas, expérimentalement, à avoir l'égalité même à une approximation acceptable.

Pour moi la deuxième question reste très suspecte . On parle d'un pentagone central parce qu'il est cerné par les cinq autres polygones , rien n'indique ou ne laisse deviner que les centres sont confondus . De plus "orienter" ne signifie pas nécessairement faire tourner autour d'un centre fixe . On parle ensuite d'écart dont Mathafou rappelle la définition mais on ne parle pas de minimiser cet écart mais de rendre cet écart voisin de l'aire du pentagone central (?) . Pour que cette question prenne un peu de sens j'avais supposé que les six aires pouvaient être identiques . En bref la question ne me semble vraiment pas claire , donnez moi votre avis pour qu'au besoin je contacte l'auteur du problème pour qu'il précise son objectif .

Imod

je suis tout à fait d'accord avec ces objections pour la question 2

cela n'ayant aucun sens d'avoir un écart aussi énorme que l'aire elle même du pentagone, la seule façon d'interpréter cette phrase est à mon avis :
Comment orienter l'heptagone par rapport au pentagone pour que l'écart entre les aires des polygones latéraux approximent au mieux l'aire du pentagone central
ou
Comment orienter l'heptagone par rapport au pentagone pour que l'écart entre les aires des polygones latéraux approximent au mieux et l'aire du pentagone central soit minimal.

quant à "orienter", certes c'est suffisamment flou pour accepter tout déplacement, ce qui complique d'autant le problème (3 paramètres libres au lieu d'un seul)

Un message pour dire que je n'ai pas laissé tomber le problème et que j'attends simplement une réponse de l'auteur .

Imod

Voici une partie de la réponse que j'ai reçue :

La question Q2 est effectivement imprécise.

On peut l'interpréter de différentes manières et obtenir des réponses différentes:  
- la moyenne des écarts en valeur absolue des aires des polygones latéraux par rapport à l'aire du pentagone central est la plus petite possible,
ou bien:
  - l'écart entre la plus grande et la plus petite des aires des polygones latéraux  est le plus petit possible,
ou bien:
- l'écart type des cinq aires des polygones latéraux est minimal,
ou bien:
- l'écart-type des six aires y compris l'aire du pentagone central est minimal,
etc...
Dans chacun de ces cas, on est amené à faire des calculs complexes ou bien à faire appel à Geogebra qui permet des simulations (malheureusement) fastidieuses.

Je n'ai pas encore reçu la réponse de l'auteur. Cela ne m'étonnerait pas que sa réponse soit équivalente à :

Pour que les aires des différents polygones latéraux soit sensiblement les mêmes , il faut utiliser l'axe de symétrie de l'heptagone . Il suffit de placer un sommet du pentagone intérieur sur cet axe de symétrie . L'aire  de chaque polygone latéral  sera  équilibrée et sensiblement égale à celle du pentagone central .


Il semblerait en tout cas qu'il n'y ait pas d'obligation à ce que les deux centres soient confondus .

A suivre donc

Imod

"faire appel à Geogebra..."
on peut jouer avec l'applet


Le pentagone central a ici une aire de 1, et l'heptagone une aire = 6
Le centre X du pentagone est déplaçable
L'orientation du pentagone définie par M déplaçable
(dans certaines limite hors desquelles la découpe est formée de polygones erratiques)
L'erreur d'égalité des aires est définie de différentes façons :





les boutons placent X et M comme ils le disent :
positions expérimentales à améliorer si vous pouvez...

Bonjour,
Merci pour ton applet
En jouant on pense arriver à améliorer,mais rapidement on abandonne...
Est-ce qu'une IA trouverait ?

C'est vrai que c'est marrant à faire bouger mais il y a trop de degrés de libertés et en tâtonnant on n'arrive pas à grand-chose . Si on suppose que le centre X du pentagone est sur un axe de symétrie de l'heptagone on peut faire une recherche plus méthodique en plaçant X puis M pour suivre les écarts . Personnellement je ne suis pas persuadé que X soit sur cet axe mais là on a un cadre un peu plus contraignant .

Imod

c'est vrai que 3 degrés de liberté ça fait beaucoup,
si on astreint X à être sur une droite, pourquoi pas l'axe de symétrie y = 0,
c'est à dire les coordonnée de X en polaire,
on pourrait varier X plus commodément
je vais modifier en ce sens quand j'aurai un moment
de toute façon comme on le constate avec l'applet, les réglages de X et orientation donnent X "à peu près" au centre et H "à peu près" en A à symétrie combinatoire (échanges des noms de points) près.
mais jamais un axe du pentagone exactement confondu avec un axe de l'heptagone.

Je ne suis pas à l'aise avec geogebra mais je vois une façon simple de vérifier si on peut obtenir l'égalité des aires avec le centre O du pentagone sur un axe de symétrie de l'heptagone . On pose O sur l'axe , puis on place si possible un point sur le cercle circonscrit au pentagone de façon à ce que l'aire du quadrilatère obtenu soit le sixième de celle de l'heptagone , le reste de la figure suit et accepte ou non l'égalité des aires .

J'ai tendance à croire que ce sera toujours non

Imod

ça fait deux degrés de liberté
J'ai aussi tendance à croire que ce sera toujours non

pour le vérifier j'ai fait tracer l'erreur en fonction de la rotation du pentagone, limitée à H sur [AB] = M sur l'arc rouge.


quel que soit le décalage OX (O est le centre de l'heptagone, X celui du pentagone) cette erreur n'est jamais nulle et la courbe rouge est le plus bas possible (err minimale) quand le pentagone est centré (OX=0)
et même en plaçant X en dehors de l'axe...

Bonsoir,
Comme déjà remarqué, il y a trois degrés de liberté pour le placement du "spoutnik", et quatre équations à satisfaire (égalité des aires de avec celle du pentagone). Vraiment mal barré.

même avec une équation de moins ce n'est pas simple !
le problème avec un spoutnik carré dans un pentagone donne un erreur sensiblement nulle (par ajustement à la main) pour une position et orientation du carré non directement sur les axes et sommets du pentagone



comme précédemment la position de X est définie en polaire et la courbe rouge l'erreur en fonction de l'orientation du carré
les portions erratiques de la courbe rouge sont parce que je n'ai pas limité F à l'arc de cercle dans lequel les polygones sont définissables.

S'il y a autant de degré de liberté que d'équations, c'est plus raisonnable et pas hautement improbable, même si ce n'est pas simple.

C'est vrai qu'une différence de 1 entre le nombre de côtés des deux olygones rend le problème un peu plus attrayant . Une différence de 0 est sans doute trop simple

Imod

Ce n'est pas la différence entre le nombre de côtés des deux polygones qui compte, mais le nombre de régions :  le nombre de degré de liberté est toujours 3,  donc le nombre de régions en dehors du petit polygone doit être 4 si on veut qu'il y ait autant d'équations que de degrés de liberté. Autrement dit, que le petit polygone soit un carré, peu importe combien le grand a de côtés : 5,6,7 ...

j'allais dire la même chose mais j'ajoute :

les exceptions sont donc n, nombre de côtés du polygone central < 5 , (4 ou 3 !)
ou m multiple de n (y compris m=n) ou avec le PGCD pour des pièces égales par rotation, diminuant le nombre d'équations à satisfaire.

En effet , les cas ou le nombre de côtés du polygone extérieur est multiple de celui du polygone intérieur est facile ( sans doute un peu moins dans l'autre sens )  . Je me demande s'il y a un cas où on peut donner précisément les positions des deux polygones lorsqu'ils n'ont pas le même centre . Disons par exemple avec trois ou quatre côtés pour le polygone intérieur et un non  multiple de trois ou quatre pour le polygone extérieur .

Imod

Un exemple amusant auquel je n'avais pas pensé : un carré dans un triangle équilatéral ?

Imod

Quelque chose comme ça
En commençant par les deux triangles jaune et bleu.

C'est une première question : 2 triangles et 2 quadrilatères ou bien 1 triangle et 3 quadrilatères ou les deux sont possibles ?

Imod

Je n'ai pas fait les calculs mais il est clair que sur ta figure , il n'y a qu'un paramètre : l'angle à droite du triangle jaune . Tout le reste de la figure se construit ensuite automatiquement . J'ai du mal à croire qu'alors mystérieusement les cinq polygones se retrouvent avec la même aire .

Imod

la simulation comme précédemment sur geogebra conduit à un centre du carré sur rien du tout d'identifiable et les sommets et points d'intersection non plus
par ajustement de la position du centre du carré en polaire (r, ) en essayant de minimiser l'erreur (somme des valeurs absolues des différences à 1)


en particulier K n'est pas en C (1 seul triangle et 3 quadrilatères)

Merci Mathafou pour toutes ces explications et animations
Il semble que dans le cas où les centres des deux polygones sont distincts , la solution est inexistante ou sort du cadre de la simple détente . On peut ajouter une question : les deux polygones ont un centre commun , le nombre de côtés de l'un est-il toujours multiple de l'autre ?
Imod

la difficulté est déjà de calculer les points d'intersection en fonction des 3 paramètres choisis
logiciel de calcul formel requis (je ne suis pas un pro du tout)
parce qu'il est simple de faire faire ça en sous sol (invisible) par géogébra pour une valeur donnée de ces paramètres, mais obtenir les aires en fonction de ces paramètres est bien plus délicat.

en ce qui concerne le centrage, c'est une conséquence de la symétrie de rotation par un même angle pour les deux polygones,
donc de leur PGCD
j'ai un peu la flemme de faire une appli générique pour tout n et m
et aussi d'essayer dans l'immédiat le cas d'un hexagone dans un octogone : dans ce cas il y a que 3 sortes de polygones autour et donc deux équations seulement pour une seule inconnue vu que les polygones réguliers ont même centre.



cette figure obtenue par un cas général m et n quelconque et des listes, mais je n'ai pas fait la génération de la liste de polygones de forme et nombres de côtés variables par géogébra (je bute)
le coloriage est de la postproduction avec paint

Tu as bien résumé le problème , en fait le détail des calculs n'est pas forcément passionnant . Disons qu'à moins d'un miracle il n'y a pas de solution si le nombre de parts distinctes est plus grand que 2 . Si on note i et e le nombre de côtés des polygones internes et externes et d leur PGCD il faut que i/d soit égal à 1 ou 2 . Après le cas i/d=2 peut être intéressant : y-a-t-il toujours une solution ?

Imod

En fait le cas i/d=2 est évident car en faisant tourner continûment le polygone intérieur les deux couleurs vont finir par échanger leurs rôles , il y aura donc un passage par l'égalité des aires .


Imod

Un lien vers les "solutions" proposées sur le site de Diophante


On ne s'attendait pas à des merveilles

Imod