Bonsoir,

La stabilité, c'est pa

Bonsoir,
(désolé)

La stabilité, c'est quand le produit de 2 matrices de l'ensemble appartient aussi à l'ensemble, non ?

Tu peux donner le sujet ?

Donc mon sujet :
Soit E l'ensemble des matrices de M₂() de la forme

M_a,b=(a  b)
                (-b a)    avec a,b

1) Montrer que E est un sous espace vectoriel de M₂(), stable pour la multiplication des matrices. Quel est sa dimension.

Donc je trouve M_a,b * M_a',b' = (aa'-bb'   ab'+a'b)
                                                     (-ba'-b'a -bb'+aa')

Je dois prouver que cette matrice appartient à M_a,b ?

Désolé pour l'écriture des matrices, elles se sont décalées quand j'ai publié.

Ok c'est bon j'ai compris, je fais comment par contre pour savoir la dimension de E ?

On voit bien que les termes de la diagonale principale sont égaux et que ceux de l'autre diagonale sont opposés, ce qui prouve que le produit appartient à l'ensemble M₂()

Néanmoins, comme la multiplication des matrices n'est pas commutative, il vaudrait mieux vérifier que ça marche aussi dans l'autre sens.

Pour trouver une base, tu peux chercher une famille génératrice de M₂ et montrer qu'elle est libre.

mais la dimension de E = rang de M ou pas ?

Pas forcément. Si a=b par exemple, ce n'est pas vrai.

Ok donc une base serait une matrice ou deux vecteurs ?

Donc on a pour base :
(0 1)
(1 0)
donc dim E = 2 ?

Non, tu dois avoir des matrices 2x2

En fait c'est une matrice que j'ai écrit (je sais pas comment on écrit les matrices sur ce site)
qui en fait ressemblerait plus à deux matrices :

(0  1)
(-1 0)

et

(1 0)
(0 1)

oui, c'est bien une base de E.
Donc dimE = 2