Oui et non.

D'abord, la première indicatrice ne sert à rien, parce que tous les sont presque sûrement positifs.

Mais ce qui me chifonne c'est que ton énoncé n'est pas clair.
On travaille avec quelles lois ? Est-ce à fixé ? Ou bien la même chose avec ?
Du coup, ton calcul, tu le fais pour un , ou directement pour ? En fonction de ta réponse (si elle est fausse), il y a quelque chose que tu pourrais ne pas avoir compris.

Ensuite il restera à trouver le réel (unique) de qui maximise pour un n-uplet donné à valeurs dans où nous est inconnu et qu'on cherche justement à estimer.

Merci beaucoup pour votre réponse.

Je crois que je n'ai pas compris pourquoi les sont presque sûrement positifs, ou en tout cas pourquoi on peut supprimer la première indicatrice (d'ailleurs c'est un au lieu d'un ) et pas la deuxième indicatrice. En effet, tous les X_i sont aussi inférieurs à s'ils appartiennent à une lois dans . Il me semble qu'il y a quelque chose que je ne saisis pas.

D'autre part, je pense que est bien fixé oui.

Pour la suite de la résolution, je pense que c'est plutôt clair mais c'est le sujet des indicatrices qui me pose soucis.

Comme il me semblait, tu n'as pas bien compris le but de la manoeuvre.

Tu as un phénomène statistique que tu veux étudier. Après avoir tracé un histogramme à partir des données à ta disposition concernant ce phénomène, tu te rends compte qu'il est plat, ce qui suggère que le phénomène suit une loi uniforme (un histogramme ne fait qu'approcher la densité). Mais une loi uniforme de quel paramètre ? C'est ça la question! Le paramètre est à valeurs dans par exemple, ou bien dans un intervalle , ça dépend de ta modélisation. Disons simplement à valeurs dans un certain intervalle réel J.

Ensuite, pour chaque theta de l'intervalle J, tu calcules la vraisemblance, qui est simplement le produit des densités. C'est bien le produit et pas la somme que tu veux maximiser parce que le produit a ceci de sympathique qu'il est nul si l'un de ses facteurs est nul. Par exemple si l'une des réalisations te sort une densité de 0.2 alors le produit sera de toute façon inférieur à 0.2 et tu peux sans doute éliminer d'office , qui ne maximisera pas la vraisemblance. Avec la somme tu pourraisau contraire avoir n-1 réalisations de densité 1 et une de densité nulle sans que ce soit éliminatoire. Pas bon ça...

Dans notre cas particulier, tous les x_i sont supposés être des réalisations indépendantes de la même loi de paramètre inconnu que tu cherches, que j'ai appelé dans ma première réponse donc elles peuvent valoir 0, mais ça arrive avec une probabilité nulle. Donc quand tu vas construire ton estimateur du maximum de vraisemblance, en remplaçant en gros les par des , ton indicatrice sera égale à 1 presque sûrement.
Par contre l'autre indicatrice n'est pas triviale du tout ! Il n'y a aucune raison que p.s, à moins que soit plus grand que le sup du support de . Par exemple si le vrai paramètre vaut 1, les X_i sont à valeurs dans [0,1] et l'indicatrice sera triviale pour , mais pas pour .

Pour répondre à ta place à la question, n'est pas fixé non, ce sont les x_i qui le sont. On fait le calcul pour tout theta, et ensuite seulement on cherche le theta qui maximise L(x_1,...,x_n ; theta). On note ce theta optimal , et on définit ainsi une fonction sur . La variable aléatoire est l'EMV.

A toi de nous dire maintenant comme tu arrives à la conclusion que

Oh merci beaucoup pour cette réponse claire et détaillée, j'ai bien mieux compris le sens de cet exercice !!

Pour la fin de la résolution on a donc

Si , alors
Si , alors est décroissante.
Donc le max est atteint pour
Donc

C'est correct, il ne fallait surtout pas chercher à dériver ou prendre le log

Et maintenant, si tu fais le même exercice mais avec des à la place de (r réel fixé, on n'y touche plus), quel sera l'EMV à ton avis ?

On aura
avec le min des
Si alors L=0
Si alors L est décroissante
Donc le max est atteint pour

Est-ce correct ?

C'est ça

Merci !!!