Niveau Master Maths

Statistiques Bayésiennes - Test Bayésien

Posté par
GodKAntoine 01-08-24 à 17:19

Bonjour tout le monde,

Je cherche à faire un test pour voir si la vraie moyenne d'une population, notée mu est égale à O. Je dispose d'un échantillon de test de taille n, de moyenne empirique m.

Mes hypothèses sont les suivantes : H0 : mu = 0, H1 : mu différent de 0.
Je pose sigma égal à son estimateur empirique.

Pour ce faire, je pose d'abord un prior peu informatif que mu suit une loi normale (0,1).
Ensuite, je pose la vraisemblance de mon modèle, ou la distribution de ma population suit une loi normale de moyenne mu et d'écart type sigma.

Comment alors réaliser le test bayésien ?
J'ai lu qu'il faut calculer le facteur de Bayes, qui est le quotient de la vraisemblance sous H0 par la vraisemblance sous H1.
$BF = \frac{p(D \mid H_0)}{p(D \mid H_1)} \\$

Cependant, ma vraisemblance sous H0, donc que mu est nul, est quasi nulle.
$\\ p(D \mid H_0) = \left( \frac{1}{\sqrt{2 \pi \sigma^2}} \right)^n \exp \left( -\frac{1}{2\sigma^2} \sum_{i=1}^n x_i^2 \right) \\$

Et de même pour ma vraisemblance sous H1, donc toutes les autres possibilités de valeurs pour mu.
$\\ p(D \mid H_1) = \int_{-\infty}^{\infty} \left( \frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}} \right)^n \exp \left( -\frac{1}{2\sigma^2} \sum_{i=1}^{n} (x_i - \mu)^2 \right) \cdot \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \exp \left( -\frac{1}{2} \mu^2 \right) d\mu \\$

Quelles sont les erreurs de raisonnement, de calcul ?
Merci beaucoup pour votre aide.
Antoine