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Statistiques et espérance...
Bonjour à tous,
Bon, comme vous allez vite vous en rendre compte, je ne suis pas mathématicien, mais mécanicien...
Je suis confronté au problème suivant:
Soit L1 et L2 deux varibles aléatoires continues qui suivent une loi normale de paramètres mu1, sigma1 et mu2 sigma2.
Soit k une troisième variable aléatoire continue qui suit une loi uniforme entre -1 et 1.
Je m'interesse à la variance de k. (L1-L2)
Comme j'ai tout lu sur Freud, j' ai voulu utiliser 3 formules qui s' appliquent dans le cas de variables aléatoires indépendantes X et Y ( ce qui est mon cas), à savoir:
Var (X+Y)=Var (X)+Var (Y)
Var (X×Y)=Var (X)×Var (Y)+Var (X)×E (Y)^2+Var (Y)×E (X)^2
Var (a×X)= a^2×Var (X), avec a scalaire
J'ai donc écrit, tout fier:
Var [k×(L1-L2)]=Var (k×L1-k×L2)=Var (k×L1)+Var (-k×L2)=Var (k×L1)+(-1)^2×Var (k×L2)=Var (k×L1)+Var (k×L2)
Puis pour chaque terme:
Var (k×Li)=Var (k)×Var (Li)+Var (k)×E (Li)^2+Var(Li)×E (k)^2
Tout faux... m'en suis rendu compte en lançant un Monte-Carlo...
Ce qui marche, c'est:
Var[k×(L1-L2)]=Var (k)×Var (L1-L2)+Var (k)×E (L1-L2)^2+Var (L1-L2)×E (L1-L2)^2
Quelqu'un peut-il m'expliquer pourquoi ma premiére approche est fausse??
Merci d'avance!
salut
k etant une variable aleatoire et en posant L1-L2=U
var(k.(L1-L2))= var(k.U) et d'apres ta formule "Var (X×Y)=Var (X)×Var (Y)+Var (X)×E (Y)^2+Var (Y)×E (X)^2 "
var(k.U) = Var (k)×Var (U)+ Var (k)×E (U)^2 + Var (k)×E (U)^2
comme k suit une loi uniforme entre -1 et 1 sa variance vaut V(k)=(b-a)²/12 = 2²/12=4/12=1/3 et son esperance E(k)=0
var(k.U) = (1/3)×Var (U)+ (1/3)×E (U)^2 + (1/3)×E (U)^2
var(U)= E(U²)-E²(U) donc
var(k.U) = (1/3)×(E(U²)-E²(U))+ (1/3)×E (U)^2 + (1/3)×E (U)^2 à simplifier
Merci Flight pour ta réponse et pour la fin du raisonnement.
En fait, ma question concernant plus mon premier point:
Pourquoi ne peut-on pas écrire: Var [k×(L1-L2)]=Var (k×L1-k×L2)?
Merci!
Bonjour.
Bien sûr que Var [k×(L1-L2)]=Var (k×L1-k×L2).
En revanche, la formule "Var (X+Y)=Var (X)+Var (Y)" que tu veux utiliser avec X=kL1 et Y=kL2 est valable pour X et Y indépendantes.
Or avec du k présent en facteurs dans les deux variables, je doute fort de leur indépendance, vois-tu ?
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