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Niveau seconde
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Statistiques et probabilités, transformation affine

Posté par
khalidmourja
09-04-20 à 21:32

Bonsoir Tout le monde, je suis un peu paniqué à cause d'un exercice dont je suis incapable de le faire je voudrai bien que vous puissiez m'aider à le faire, je suis seul laisser à mon sort, merci d'avance. Cela est l'exercice:

La moyenne semestrielle (notes de 0 à 20) d'une classe est de 8,5 ; son écart-type est 2,5. Il n'y a pas de note supérieure à 18, il n'y a pas de note inférieure à 5.
Le professeur décide de transformer ces notes par une fonction affine (on parle alors de péréquation affine) afin que la moyenne soit de 10.

Proposition 1 : on ajoute le même nombre p de points à toutes les notes.
Proposition 2 : on multiplie toutes les notes par un même coefficient k.

1. Déterminer les valeurs de p et k et contrôler la validité de chaque proposition.
2. Quelles sont les conséquences de chaque proposition sur les notes les plus faibles ? Les plus fortes ? Sur l'écart entre les notes les plus faibles et les plus fortes ?
3. Pour chacune de ces propositions, évaluez l'écart type.
4. Déterminer une proposition 3 permettant d'obtenir une moyenne de 10 et d'écart type de 2.

Je vous remerci infiniment pour votre aide, et belle soirée.

Posté par
hekla
re : Statistiques et probabilités, transformation affine 09-04-20 à 21:55

Bonsoir
Que proposez-vous  ?

Les notes obtenues   sont  x_1=5 ; x_2= 6 ; \dots ; x_{13}=17 ; x_{14}=18  et les effectifs sont n_1 \n_2 \dots \ n_{13},\ n_{14}

les nouvelles notes sont donc
x_1=5+p ; x_2= 6+p ; \dots ; x_{13}=17+p ; x_{14}=18+p   les effectifs étant inchangés

La nouvelle  moyenne est alors  \dfrac{n_1(x_1+p)+n_2(x_2+p)+\dots+n_{13}(x_{13}+p)+n_{14}(x_{14}+p)}{n_1+n_2+\dots+n_{13}+n_{14}}
Que vaut-elle ?

Posté par
flight
re : Statistiques et probabilités, transformation affine 10-04-20 à 01:42

salut  Hekla , , il me semble qu'on a pas forcement  x1=5 , x2 =6 , x3=7 ...ect    qu'est ce qui empecherait par exemple d'avoir   x1=5 , x2 =5 , x3=7, x4 = 10 ..., toutes les valeurs entre 5 et 18 ne sont pas forcement représentées dans les notes ?  ..qu'en pensez vous ?

Posté par
hekla
re : Statistiques et probabilités, transformation affine 10-04-20 à 11:19

Bonjour flight

Il se peut très bien que toutes les notes ne soient pas présentes  dans ce cas le n_i correspondant est nul

On ne sait pas non plus combien il y a d'élèves dans la classe. Cela n'a que peut d'intérêt. On veut une relation entre la moyenne de départ et celle après que tout le monde ait eu p points de plus

Posté par
khalidmourja
re : Statistiques et probabilités, transformation affine 18-04-20 à 18:22

Bonjour Hekla, bonjour Flight
Je tiens à vous remercier pour m'avoir répondu. Cependant je n'ai pas encore très bien compris le problème et comment le résoudre. Si vous pouvez me donner plus d'indices, merci infiniment pour votre aide.

Bonne journée à toutes et à tous..

Posté par
co11
re : Statistiques et probabilités, transformation affine 18-04-20 à 18:47

Bonsoir,
je lis dans le programme de seconde en statistiques : " linéarité de la moyenne".
As-tu appris quelque chose à ce sujet ?
Et sinon,  hekla essaie de te faire trouver par toi même ce que donne le fait d'ajouter p points à chaque note, en tout cas sur la moyenne

Posté par
khalidmourja
re : Statistiques et probabilités, transformation affine 18-04-20 à 19:08

Bonjour Co11, non je regrette mais je ne sais guère c'est quoi la linéarité de la moyenne.
Mais merci pour l'aide, mais puis-je vous demandez de l'aide sur le problème en question, merci d'avance pour l'aide.

Posté par
hekla
re : Statistiques et probabilités, transformation affine 18-04-20 à 19:08

Je n'ai utilisé que la proposition 1   on ajoute  p à chaque note  et on calcule la nouvelle moyenne.

Simplifiez la nouvelle moyenne. Je vous l'ai écrite.

Ensuite on pourra résoudre l'équation en p en écrivant que la nouvelle moyenne est 10.

Un raisonnement sans  calcul permet de voir comment évolue l'écart type


Ensuite on fait de même avec la proposition 2

Posté par
co11
re : Statistiques et probabilités, transformation affine 18-04-20 à 19:58

Essayons intuitivement : Si on ajoute par exemple 1,5 point à tous, que devient la moyenne ?
Ce serait bien de revenir ensuite au calcul proposé par hekla ensuite ....

Et si on multiplie toutes les notes par 2, ou 2,5 ...... ?

Posté par
co11
re : Statistiques et probabilités, transformation affine 18-04-20 à 20:04

hekla

Citation :
Un raisonnement sans  calcul permet de voir comment évolue l'écart type

Oh la la, je ne sais pas trop ..... En insistant sur le mot "écart" ?

Posté par
hekla
re : Statistiques et probabilités, transformation affine 18-04-20 à 20:16

On va prendre un exemple très élémentaire

on a 3 notes 8, 11 et 13  et  un effectif  respectif de 2, 8 et 5

Si l'on calcule la moyenne on obtient

\dfrac{8\times 2+11\times 8+ 13\times 5}{2+8+5}=\dfrac{169}{15}

les notes sont augmentées de 3 points  la nouvelle moyenne est donc

\dfrac{11\times 2+14\times 8+ 16\times 5}{2+8+5}=\dfrac{274}{15}=\dfrac{169+105}{15}=\dfrac{169}{15}+\dfrac{105}{15}

De combien a augmenté la moyenne ?

Comme cet exemple ne prouve rien on va donc être obligé de passer à ce que j'ai écrit dans mon premier message. .

Posté par
khalidmourja
re : Statistiques et probabilités, transformation affine 18-04-20 à 20:16

Ah Parfait un grand merci Hekla et à toutes et à tous.

Posté par
hekla
re : Statistiques et probabilités, transformation affine 18-04-20 à 20:18

L'écart type mesure la dispersion autour de la moyenne.  Si  tout a augmenté de la même manière, la dispersion est restée la même. L'écart type n'a donc pas varié.

Posté par
khalidmourja
re : Statistiques et probabilités, transformation affine 18-04-20 à 21:03

Je vous remercie beaucoup pour votre aide, je suis sur la bonne route. Mais puis-je vous demander une autre chose sur la dernière question.
Que proposez-vous?

Merci beaucoup et bonne soirée

Posté par
hekla
re : Statistiques et probabilités, transformation affine 18-04-20 à 21:34

Vous avez montré qu'en utilisant la proposition 1 la moyenne était augmentée de p  et l'écart type inchangé

En utilisant la proposition 2 la moyenne et l'écart type étaient multipliés par k (k>0)  On veut donc  transformer les notes par  z_i=kx_i+p

\begin{cases}\overline{z}= k\overline{x}+p\\\sigma_z=k\sigma_x\end{cases}


Déterminez p et k  pour que les conditions soient vérifiées.

Posté par
khalidmourja
re : Statistiques et probabilités, transformation affine 18-04-20 à 22:03

Oui bien et pour détérminer p et k on fait comment s'il vous plait?

Posté par
hekla
re : Statistiques et probabilités, transformation affine 18-04-20 à 22:07

On résout le système   après avoir remplacé  \overline{z},\ \overline{x}  ainsi que les écarts type par les valeurs données

Posté par
khalidmourja
re : Statistiques et probabilités, transformation affine 18-04-20 à 22:39

wooow, cela parait un peu difficile à part de résoudre le système avec Cramer. Le reste demeure un peu compliqué..(pardon pour le dérangement) pouvez-vous m'expliquer que vouliez-vous dire par" remplacé  les écarts type par les valeurs données"??

Merci d'avance

Posté par
hekla
re : Statistiques et probabilités, transformation affine 18-04-20 à 22:48

Citation :
La moyenne semestrielle (notes de 0 à 20) d'une classe est de 8,5 ; son écart-type est 2,5.


 \overline{x}=8,5 \quad \sigma_x=2,5

Citation :
Déterminer une proposition 3 permettant d'obtenir une moyenne de 10 et d'écart type de 2.


 \overline{z}=10 \quad \sigma_z=2


Non pas question de Cramer  la deuxième ligne ne comporte qu'une variable  que l'on va évidemment reporter dans la première

Posté par
khalidmourja
re : Statistiques et probabilités, transformation affine 19-04-20 à 11:51

Bonjour Hekla merci pour l'aide, mais voulant résoudre la nouvelle moyenne je suis tombé sur deux inconnu lep et les effectis. Que faire s'il vous plait?

Merci d'avance et bonne journée

Posté par
hekla
re : Statistiques et probabilités, transformation affine 19-04-20 à 11:58

Le système que vous avez à résoudre est  

\begin{cases}10=8,5 k+p\\ 2=2,5k\end{cases}

Que voulez-vous dire ?

Posté par
khalidmourja
re : Statistiques et probabilités, transformation affine 19-04-20 à 12:29

Oui oui en effet je l'ai déjà résolu. Cela donne p=16,8  et  k=0,8. Toutefois cela répond-il à la première ou dernière question?

Merci d'avance

Posté par
hekla
re : Statistiques et probabilités, transformation affine 19-04-20 à 12:40

10=0,8\times8,5+p   d'où  p=3,2

Proposition 3 appliquer à chaque note 0,8x+3,2

Il s'agit bien de la dernière question

Posté par
khalidmourja
re : Statistiques et probabilités, transformation affine 19-04-20 à 12:54

D'accord; UN GRAND merci beaucoup. Mais je suis encore incapable de faire la première question celle de "1. Déterminer les valeurs de p et k et contrôler la validité de chaque proposition." Si vous pouvez m'aidez s'il vous plait (je suis navré pour le dérangement).

Merci d'avance.
Ayez une bonne journée

Posté par
hekla
re : Statistiques et probabilités, transformation affine 19-04-20 à 14:04

question 1  proposition 1 on ajoute p à toutes les notes par conséquent la nouvelle moyenne est l'ancienne + p  

Ce sont mes interventions du début  9/04 21 :55 l'exemple avec 3 valeurs

La nouvelle  moyenne est alors  \dfrac{n_1(x_1+p)+n_2(x_2+p)+\dots+n_{13}(x_{13}+p)+n_{14}(x_{14}+p)}{n_1+n_2+\dots+n_{13}+n_{14}}

soit en développant

 \dfrac{n_1x_1+n_1p+n_2x_2+n_2p+\dots+n_{13}x_{13}+n_{13}p+n_{14}x_{14}+n_{14}p}{n_1+n_2+\dots+n_{13}+n_{14}}=\dfrac{n_1x_1+n_2x_2+\dots +n_{13}x_{13}+n_{14}x_{14}}{n_1+n_2+\dots+n_{13}+n_{14}}+\dfrac{(n_1+n_2+\dots+n_{13}+n_{14})p}{n_1+n_2+\dots+n_{13}+n_{14}}

on détermine p tel que 8,5+p=10 On reste bien en dessous de 20.

On en fait autant avec k \quad \overline{z}=k\overline{x}  on détermine k tel que 8,5k=10 a-t-on des notes inférieures à 20 ?

Posté par
khalidmourja
re : Statistiques et probabilités, transformation affine 19-04-20 à 14:10

Parfait merci beaucoup Hekla mes problèmes sont désormais résolu.
Je vous espère une belle journée. Oui pour P=1,5 et K=10/8,5.
C'est fait merci. Seulement une petite constation s'il vous plait. Pour la troisième "Pour chacune de ces propositions, évaluez l'écart type".
Est-ce qu'on doit comparer les écart types dans chaque cas ou quoi?

Merci d'avance

Posté par
hekla
re : Statistiques et probabilités, transformation affine 19-04-20 à 14:44

pour k  on ne peut prendre cette valeur car si une personne a 18 elle se retrouve à avoir un peu plus de 21  Donc  cela ne fonctionne pas

   question 3  proposition 1 la réponse a déjà été donnée  l'écart type ne change pas.
Dans le cas de la proposition 2  l'écart-type est multiplié par |k|  
La démonstration se fait en utilisant la définition.

On a donc bien comparé les écarts-type  selon les propositions

Les réponses à 1 et 3 permettent de faire la proposition 3

Posté par
khalidmourja
re : Statistiques et probabilités, transformation affine 20-04-20 à 20:52

Parfait, merci beaucoup pour votre aide.
Je vous espère une belle soirée😉

Posté par
hekla
re : Statistiques et probabilités, transformation affine 20-04-20 à 21:17

Si vous avez d'autres questions n'hésitez pas
De rien
Bonne soirée



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