Exercice 2

La fiabilité d'un composant au temps t est la probabilité pour que la variable aléatoire non négative, T, représentant la durée de vie de ce matériel, soit supérieure à t.

R(t)=P(T>t)=1-F_T(t)

Partie 1

Soit un système S formé de 4 Composant C₁, C₂, C₃, C₄ comme sur la figure.

La fiabilité de chacun d'eux est: R_i(t)=e^-_it, ou _i>0 pour i= 1,...,4.

1. Soit la v.a. T_i, la durrée de vie du composant C_i.
  (a)Donner la fonction de répartition F_T[sub]i[/sub] et la densité de probabilité f_T[sub]i[/sub] de T_i.
  (b)Déterminer la moyenne _i de T_i ( MTBF du composant C_i).

On considère le sous ensemble S1 formé des 3 composants C₁,C₂ et C₃ montés en série(cf figure).

2. Soit la v.a. T_S[sub]1[/sub], la durée de vie de S₁.
  (a) Calculer R_S[sub]1[/sub] la fiabilité du système S₁.
  (b) En déduire la fonstion de répartition F_{T[sub]S[sub]1}[/sub][/sub] et la densité de probabilité f_{T[sub]S[sub]1}[/sub][/sub] de T_S[sub]1[/sub].
  (c) Calculer _S[sub]1[/sub] la moyenne de T_S[sub]1[/sub] (MTBF du système). La comparer à celle des composants.

Nous supposons maintenant que: ₁+₂+₃=₄=

3. Soit la v.a. T, la durée de vie de S.
  (a) Calculer R la fiabilité du système S.
  (b) En déduire la fonction de répartition F_T et la densité de probabilité f_T de T.
  (c) Calculer , la moyenne de T (MTBF du système). La comparer à celle des composants.

4. Ce système est réparable. La durrée de réparation est une v.a. aléatoire D définie sur l'intervalle [0;to] de densité f_D(t).
  (a) Soit a , un réel non nul. Quelle doit être la valeur de a pour avoir une densité de la forme f_D(t)=a((t-to)/to)² e ^-((t-to)/to)?
  (b) Calculer , la moyenne de D.

5. On a relevé la durée de 100 répartitions consignées dans le tableau suivant:

Classe 0;15 15;30 30;45 45;60 60;75 75;90 90;105 105;120
effectif 41    26      16     9        5       1       1         1

  (a) Calculer la moyenne, l'écart-type, l'asymétrie et l'aplatissement.
  (b) En déduire les estimations suivantes : to120 et 26.

Partie 2

Le système S peut être représenté par le système simplifié suivant :

____/----[C]----\______
      \----[C]----/

où la durée de vie de chaque système C composant suit une loi exponentielle de paramètre . Nous savons alors que la v.a. K_t, le nombre de panne observées à la date t suit une loi de poisson de paramètre t.

6. Exprimer la loi de K_10⁵ le nombre de composants claqués à la date t=10⁵.

7. L'estimation du MTBF d'un composant donne : =18181.

  (a) En déduire la moyenne de K_10⁵ et une approximation des paramètres de sa loi.
  (b) Quelle est la probabilité qu'au moins 22 composant soient défectueux à la date t=10⁵?

8. Le coût d'une réparation est C = 55D + 60. Calculer le coût moyen E(C) d'une réparation.

9. Calculer la probabilité que le coût moyen total des réparations du système à la date t=10⁵ soit supérieur à 31290.




*** message déplacé ***