Bonjour,

Les étapes pour y arriver :
8-0-0 (départ)
3-5-0 (on verse celui de 8l dans celui de 5l)
3-2-3 (on verse celui de 5l dans celui de 3l)
6-2-0 (on verse celui de 3l dans celui de 8l)
6-0-2 (on verse celui de 5l dans celui de 3l)
1-5-2 (on verse celui de 8l dans celui de 5l)
1-4-3 (on verse celui de 5l dans celui de 3l)
4-4-0 (on verse celui de 3l dans celui de 8l)

CQFD

(PS : il y a cependant différentes façons d'y parvenir... la plus rapide se réalisant en 7 étapes)

Bonjour,

une façon commode de chercher quels transvasements sont à effectuer

on considère que l'on a un "réservoir" de 8 L

comme "rien ne se perd" on peut tout aussi bien considérer qu'on a une fontaine et une évacuation en guise de réservoir
et qu'il faut considérer uniquement les récipients de 5 et 3 litres, pleins au départ, que l'on a vidé dans le réservoir !!
(dans la poubelle)

et on cherche donc à mesurer 4 litres dans deux récipients de 5 et 3 litres considérés comme seuls en cause

la méthode générale est toujours la même dans tous les problèmes à deux récipients

on en choisit un (n'importe lequel) disons A et l'autre est B

chaque fois que A est vide on le remplit au robinet (à partir du réservoir de 8 litres)
on le verse dans B (partiellement si B devient plein)
chaque fois que B est plein on le vide dans la poubelle (dans le réservoir de 8 litres)

on répète cet enchainement d'opérations aveuglément
et toutes les répartitions possibles de liquide dans A et B sont ainsi obtenues
on s'arrête quand on a la bonne. (ici un des récipient contient 4 litres)

il y a donc toujours deux solutions selon que A est le récipient de 5 litres ou de 3 litres

l'une d'elles est en général la plus courte.

il y a d'autres façons d'aborder ce problème

- dans des "coordonnées trilinéaires" (sur un quadrillage triangulaire) représentant les quantités de liquide dans chacun des 3 récipients
ce qui donne un vision graphique du problème

- en considérant que c'est une équation de Diophante 5x + 3y = 4 (= 8 - valeur désirée dans le récipient de 8 litres)
x et y étant le nombre de fois algébrique ou on a rempli le récipient correspondant (négatif si ce "remplissage" est une vidange )

etc.

illustration du coup des coordonnées trilinéaires



la distance d'un point à la base horizontale représente la quantité de liquide dans le récipient de 5 litres (axe "A")
la distance au côté de gauche la quantité de liquide dans le vase B de 3 litres
la distance au côté de droite la quantité de liquide dans le vase C (de 8 litres)

au départ on est au coin inférieur gauche A = B = 0, C = 8 (3 litres et 5 litres vides, 8 litres plein)

on se déplace en suivant les lignes du quadrillage comme indiqué sur le schéma de droite

le parallélogramme représente tous les points possibles compte tenu de la quantité totale de 8 litres et de la capacité de chaque récipient

on ne peut s'arrêter que sur le pourtour de ce parallélogramme (car on ne peut que vider ou remplir en entier un récipient et pas en verser "un petit" peu" pour remplir "en partie" un autre récipient)
les points jaunes sont ainsi inaccessibles

le jeu consiste à chercher un trajet en zigzag aboutissant à un point ayant une des coordonnées trilinéaires = 4 (un des deux points verts)

nota : toute valeur est possible car 3 et 5 sont premiers entre eux
ceci se prouve en considérant l'équation de Diophante citée précédemment
tous les points du pourtour du parallélogramme sont ainsi accessibles effectivement par au moins un trajet en zigzag légal.

salut

fenamat84 : dommage de donner si vite la réponse ...


mathafou :

je remets mon diagramme agrémenté de quelques indications supplémentaires :



tout point de l'ensemble du triangle représente un état des 3 récipients
ainsi le point M correspond à : récipient A contient 2 litres, récipient B contient 2 litres et récipient C contient 4 litres

les coordonnés (A=2, B=2, C=4) se lisent sur les axes gradués indiqués, parallèlement aux lignes de niveau associées
j'ai fait figurer les "ligne de niveau" indiquant les récipients vides ou plein
B = 3 est la ligne contenant tous les points où le récipient B est plein (3 litres)
toute parallèle à cette droite représente les points ayant même contenu dans ce récipient B (droites B = constante)
la parallèle passant par M contient tous les points pour lesquels B = 2

cet état M est impossible à atteindre légalement car cela voudrait dire qu'on a fait un vidage ou remplissage partiel (à partir de graduations sur les récipients)
soit en partant d'un des deux récipient A ou B pour ne verser "que 4 litres" dans C sans vider complètement le récipient d'origine :
interdit
soit qu'on a versé depuis A ou C seulement 2 litres dans B, sans vider ni A ni C, idem etc

on ne peut donc légalement atteindre que des points sur les droites en pointillés (A = 0 ou 5, B = 0 ou 3)

le point N n'existe tout simplement pas car A = 3, B = 4, C = 1 voudrait dire qu'on a 4 litres dans un récipient B qui ne peut en contenir que 3

une fois qu'on a compris le fonctionnement d'un tel diagramme tous les problèmes de transvasements entre trois récipients se résolvent par simple lecture d'un trajet sur le diagramme.

ok merci ...

c'est plus clair ...

Bonjour,

Je trouve la solution alambiquée

on se bidonne comme on peut ...

et si gerreba s'était appelé jerry j'aurais pu rajouter

jerry can solve the problem now ...

Bonjour,

Ca coule  de source ....

La pratique scolaire  de ce genre d'exercice est nettement
battue par la méthode mathafou  ,cependant j'ai des doutes que  dans
un cas concret elle soit appliquée  .