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Niveau Maths sup
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Structure algébrique

Posté par
Mathes1
19-01-22 à 21:09

Bonjour à tous
J'ai un exercice merci beaucoup d'avance
1)Soit l'ensemble :
A ={m+n\sqrt 6/m,n\in Z}
a. Montrer que (A; +; ×)
est un sous anneau de (R; +; ×)
b. Montrer que l'application \phi :
\begin{cases} A--->A \\ m+n\sqrt 6--->m-n\sqrt6 \end{cases}
Est un automorphisme
de (A,+,×)
c) vérifier que 5+2\sqrt 6 est inversible et calculer son inverse
------------------------------------------
Voici mes suggestions :
1-a
•montrons que (A,+,×) est sous groupe
*Stabilité de la loi +
Soit m,n,m',n'
(m+n\sqrt 6)(m'-n'\sqrt 6)-1
=(m+n\sqrt 6-m'-n'\sqrt 6
=(m-m')+(n-n')\sqrt 6=\alpha +\beta \sqrt 6 A (+ est stable)
•A
Et A≠∅ car m=n=0+0\sqrt 6A
L'élément neutre de (R,+) c'est  e=0A
Stabilité pour ×
On a (m+n\sqrt 6)(m'+n'\sqrt6) =(mm'+6nn')+(mn'+nm')\sqrt6=\alpha +\beta \sqrt 6A
On déduit que (A,+,×) sous anneau de (R,+,×)
b)on a l'ensemble d'arriver est le même que l'ensemble de départ
Et ensuite il faut que l'application soit bijective+morphisme
Soient a=m+n \sqrt 6 et b=m'+n'\sqrt 6
On a :a+b=(m+m')+(n+n')\sqrt 6
Donc (a+b)=(m+m')-(n+n')\sqrt 6
(m+n\sqrt 6)+(m'-n'\sqrt 6)
=(a)+(b)
a×b=(m+n\sqrt6)(m'+n'\sqrt 6)=mm'+6nn'+(mn'+m'n)\sqrt 6
(ab)=(mm'+6nn')-(mn'+m'n)\sqrt 6
(a)×(b)=(m-n\sqrt 6)(m'-n'\sqrt 6)=(mm'+6nn')(mn'+m'n)\sqrt 6
=(a×b)
(0)=(0+0\sqrt 6)=0
(1)=(1+0\sqrt 6)=1

D'où morphisme
Bijectivité :
f(a)=b<=> f(m+n\sqrt 6)=m'+n'\sqrt6
m-n\sqrt 6=m'+n'\sqrt 6<=> (m-m')-(n+n')\sqrt 6=0
m-m'=0<=> m=m'
n+n'=0<=> n=-n'
(m',n') qui vérifie
f(a)=b donc bijective
Autrement f(f(a))=f(f(m+n\sqrt 6))=m+n\sqrt 6<=> f°f(a)=id=a <=> f=f-1 f bijective
c)-1(5+2\sqrt 6)=(5-2\sqrt 6)
bijective
on a (5+2\sqrt 6)×(a+b\sqrt 6)=1
 \\ (5a+12b)+(2a+5b)\sqrt 6 =1+0\sqrt 6
 \\
Donc 5a+12b=1 et 2a+5b=0
a=5 et b=-2
Donc -1(5+2\sqrt 6)=(5-2\sqrt 6)
Merci beaucoup d'avance

Posté par
carpediem
re : Structure algébrique 20-01-22 à 13:47

salut

ça me semble imprécis et incomplet ... et difficilement lisible avec ce mélange de latex et de "pas latex" ...

je pose r = \sqrt 6

1/ (A, +) est un groupe (commutatif) :
       a/ A n'est pas vide
       b/ + est interne et associative
       c/ neutre et opposé
       d/ commutativité

2/ (A, +, x) est un anneau (unitaire) :
       a/ x est interne et associative
       b/ distributivité de x par rapport à +
       c/ neutre

REM : on peut vérifier élémentairement que x est commutative ...

EX d'imprécision :

Citation :
<=> f°f(a) = id = a

où l'on doit écrire f o f (a) = Id(a) = a

en plus de signe opératoire manquant ...

c/ un simple calcul mental donne (5 + 2r)(5 - 2r) = 1 ...

mais ce que tu as fait est correct ...

Posté par
Mathes1
re : Structure algébrique 22-01-22 à 15:56

Bonjour
Merci beaucoup à vous pour vos remarques
Je suis désolé pour ce mélange de latex et de "pas latex"

Posté par
carpediem
re : Structure algébrique 22-01-22 à 16:01

de rien



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