Bonjour à tous
J'ai un exercice merci beaucoup d'avance
1)Soit l'ensemble :
A ={m+n}
a. Montrer que (A; +; ×)
est un sous anneau de (R; +; ×)
b. Montrer que l'application :
Est un automorphisme
de (A,+,×)
c) vérifier que 5+2 est inversible et calculer son inverse
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Voici mes suggestions :
1-a
•montrons que (A,+,×) est sous groupe
*Stabilité de la loi +
Soit m,n,m',n'
(m+n)(m'-n')-1
=(m+n
= A (+ est stable)
•A
Et A≠∅ car m=n=0+0A
L'élément neutre de (R,+) c'est e=0A
Stabilité pour ×
On a A
On déduit que (A,+,×) sous anneau de (R,+,×)
b)on a l'ensemble d'arriver est le même que l'ensemble de départ
Et ensuite il faut que l'application soit bijective+morphisme
Soient
On a :
Donc (a+b)=
=(a)+(b)
•
(ab)=
(a)×(b)=
=(a×b)
(0)=(0+0\sqrt 6)=0
(1)=(1+0\sqrt 6)=1
D'où morphisme
Bijectivité :
f(a)=b<=> f(m+n\sqrt 6)=m'+n'\sqrt6
m-n\sqrt 6=m'+n'\sqrt 6<=> (m-m')-(n+n')\sqrt 6=0
m-m'=0<=> m=m'
n+n'=0<=> n=-n'
(m',n') qui vérifie
f(a)=b donc bijective
Autrement <=> f°f(a)=id=a <=> f=f-1 f bijective
c)-1
bijective
on a
Donc 5a+12b=1 et 2a+5b=0
a=5 et b=-2
Donc -1
Merci beaucoup d'avance
salut
ça me semble imprécis et incomplet ... et difficilement lisible avec ce mélange de latex et de "pas latex" ...
je pose
1/ (A, +) est un groupe (commutatif) :
a/ A n'est pas vide
b/ + est interne et associative
c/ neutre et opposé
d/ commutativité
2/ (A, +, x) est un anneau (unitaire) :
a/ x est interne et associative
b/ distributivité de x par rapport à +
c/ neutre
REM : on peut vérifier élémentairement que x est commutative ...
EX d'imprécision :
Bonjour
Merci beaucoup à vous pour vos remarques
Je suis désolé pour ce mélange de latex et de "pas latex"
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