Bonjour

Avant de parler d'inverse, il faut déjà avoir démontré l'existence d'un élément neutre

Tu peux te faire une idée intuitive de ce que vaut l'élément neutre avec les notations f et f^-1 que tu as introduites. Ensuite, il faut le démontrer

Oui mais je crois ne pas avoir trouver comment montrer l'existence d'un element neutre

Etant donné un a quelconque, tu introduis tes fonctions f et f^-1. L'élément neutre est forcément f^-1(a). Alors montre qu'il est bien neutre pour tout élément

bonjour,
le problème il me semble est de justifier que De E dans E est avec  un b fixé ,du type
En écrivant tu supposes déjà l'existence de

Bonjour,
Je pense qu'utiliser f^-1(a) comme conseillé par Zormuche est une bonne piste.

bonjour,
oui mais plus clairement il me semble qu'il faudrait définir un isomorphisme évident  h : (E,.) --->(H,o) où ( H,o) est le groupe des bijections muni de la loi de composition o, ainsi   et  

C'est sans doute une piste qui peut aboutir ; mais il y a plus terre à terre.
Poser c = f^-1(a) et démontrer ac = a (évident) mais aussi ca =a, et ensuite xc = cx = b pour tout x de E.

Je ne veux pas trop détailler. Attendons le retour de KrnT et Zormuche.

ce n'est pas seulement une piste.
h :a ---> f_a
h(ab)=f_ab=f_aof_b
h est d'abord une bijection avec la régularité, puis la relation prouve bien l'homomorphisme et  H est un groupe!

salut

il n'est pas besoin de parler de la fonction réciproque :

f est injective sur un ensemble fini donc bijective

donc il existe un élément u tel que f(u) = a

et il existe un élément v tel que f(v) = u

que peut-on dire de u et v ?

...

Merci beaucoup de m'aider !
j'ai procédé ainsi f(x)=ax
f (f^-1()a) appartient à E
f( f^-1(a))=a f^-1(a)=a
de même pour l'autre côté
ce qui justifie l'existence d'un élément neutre

Merci beaucoup de m'avoir aidé*

Je ne vais plus être disponible.
Mais ce que tu as écrit KrnT ne me semble pas démontrer que
Pour tout x de E on a cx = xc = x.
J'avais posé c = f^-1(a), et fait une coquille dans mon message de 13h50 :

J'ai procédé come ça :
Mq f-1(a) est l'elt neutre
f°f^-1(a)=af^-1(a)=a
et f^-1(f(a))=f^-1(a^2)=a
dorénavant g =f^-1
Nous devons montrer que g(a)x=xg(a)=x
Et comme f est bijective nous pouvons montrer que
f(g(a)x)=f(xg(a))=f(x)
f(g(a)x)=ag(a)x et on a ag(a)=a
d'où f(g(a)x)=ax=f(x)
Pour l'autre côté je ne sais pas si ce que j'ai démontré en haut suffirait ou je dois changer de direction

absolument pas ...

Pourquoi pas carpediem ?
f(u)=a et f(x)= ax  le seul element verifiant ça est l'élément neutre non ?

@carpediem
Qu'est ce que tu veux prouver avec  f(u)=a ;f(v)=u ?

@KmT tu ne sembles pas vouloir comprendre ce que j'ai écris post de 13h38 et post de 14h08

j'ai l'impression que tu mélanges des écritures genre et sachant que est la bijection E--->E  x---> ax

DOMOREA J'ai bien aimé comment vous avez procédé !
Je cherche juste à avoir le plus de méthode possible sur ce genre d'exercice.
Oui j'ai bien mélangé les deux écritures désolé

ainsi pour tout b : (ba)u = b(au) = ba

et puisque la fonction x --> bx est bijective on en déduit que u est le neutre à droite ...

et puisque a(ua) = (au)a = aa

et que a est régulier on en déduit que ua = a

donc u est neutre à gauche

...

@carpediem,
D'accord pour

au départ on s'est fixé un élément a et je n'avais montré que pour ce a fixé on a : au = a (bijectivité de x --> ax)

maintenant avec la bijectivité de la fonction x --> bx où b est un autre élément et avec cette relation et en posant x = ba on a donc pour tout x : xu  = x

donc ce qui est vrai pour a l'est en fait pour tout a



REM : il n'est nulle part mentionné régularité à gauche ou a droite

on pourrait donc considérer la fonction x --> xa qui est donc aussi bijective

puis il existe u et v tel que au = a et va = a

l'associativité permet alors de conclure que u = v ...

puis idem pour montrer que c'est vrai pour tout a ...

je ne comprends rien

Ça y est, j'ai compris

Je donne quand même ma version terre à terre :
Avec a dans E et la bijection f de E dans E définie par f(x) = ax.

a) Soit u l'antécédent de a par f : au = a.
a(ua) = (au)a = aa.
a(ua) = aa ; par régularité de a, on a ua = a.

b) Soit y dans E et x son antécédent par f.
ax = y ; donc u(ax) = uy.
Mais u(ax) = (ua)x = ax. D'où uy = y.
Pour tout y de E on a uy = y.

c) On peut démontrer yu = y comme au a).

Merci infiniment à vous tous !

Sylvieg :

ton a/ est ce que je dis à 18h06 et ton b/ est dans le même ordre d'idée mais effectivement plus efficace !que ce que je propose !!

DOMOREA J'ai beaucoup aimé ce que vous aviez proposé, mais je n'ai pas encore le réflexe d'utiliser des groupes de fonctions assez "usuels" pour traiter ce genre d'exercice.

Pour l'inversibilité je n'ai eu d'idée claire à exploiter :
Pour montrer que chaque élément inverse j'ai procédé comme ci :
on a f(x)=ax et f-1(x)=bx
f°f-1(x)=abx=x par régularité nous avons ab=u
f-1°f(x)=bax=x par régularité ba=u
d'où ab=ba=u donc b =a^-1
Mais je dois trouver maintenant une formule avec quelque csoit x
des idées ?

ben ce que tu écris est bien un "quel que soit x" (puisque tout élément est régulier)

Mais a et b sont fixés non ?

Bonjour,
Pour démontrer que chaque élément a de E a un inverse, il suffit de considérer l'antécédent de l'élément neutre u par la bijection f de E dans E définie par f(x) = ax.

bonjour,
@carpediem
excuse moi mais il y a un loup dans ta démonstration dès le début
Tu pars de la bijection f_a donc pour un a choisi parmi tous les éléments de E.
tu appelles u l'antécedent de a puisque tu écris f(u)=a donc avec mes notations f_a(u)=a
tu en conclues plus loin que u est élément neutre, ce qui veut dire que pour b distinct de a , on peut écrire alors

donc bu=b
En fait c'est comme si tu partais de l'hypothèse qu'il existe un neutre u  et  tu démontres ensuite qu'il est neutre.

réfléchi à ce que je propose: SI a de E n'est pas neutre  alors du fait de la finitude de E  que je suppose de cardinal n,  la suite a,a²,...,aⁿ,aⁿ⁺¹ posède au moins 2 éléments égaux
Donc il existe p et q, tels que a^p=a^q
comme a n'est pas neutre q n'est pas égal à p+1
pour tout x de E   a^px=a^qx avec la régularité on en déduit que est l'élément neutre à gauche mais aussi à droite car on peut écrire

donc avec mes notations élément neutre de E

@DOMOREA,
As-tu lu mon message d'hier à 20h53 ?
Pas très différent de ce que carpediem avait écrit.
Et nulle part n'est supposé qu'il existe un neutre.
Il est seulement utilisé que ce que tu notes f_a est une bijection de E dans E.
D'où l'existence de u antécédent de a par f_a.

ok je reconnais avoir mal interprété, que carpediem m'excuse aussi
et on peut se mettre d'accord avec
car j'écrivais donc
j'exprime ainsi l'élément neutre au moyen de a

Oui, utiliser les puissances de a est une piste qui fonctionne aussi

KrnT avait démarré avec la bijection f_a.
C'était une très bonne idée. Et nous l'avons aidé à la faire aboutir.
La méthode avec les puissances me semble encore plus "terre à terre"

DOMOREA : no problemo ...

je voulais juste montrer un raisonnement qui utilise explicitement l'associativité ...

tu utilises le raisonnement classique des puissances (dans un ensemble fini) ... mais de même il ne faut surtout pas oublier que c'est possible grâce à l'associativité !!