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structures anneaux

Posté par
aya4545
27-04-22 à 01:36

bonsoir
priere m aider à terminer cet exercice et merci
(A,+,\times) anneau tel que \forall a \in A     a²=a
1) montrer que  \forall a  ,b \in A  ab+ba =0_A
2) montrer que  \forall a   \in A  a+a =0_A
3) montrer que (A,+,\times) anneau  commutatif
4)montrer que  \forall a  ,b \in A  ab(a+b) =0_A
5) deduire que  A=\lbrace 0_A, 1 \rbrace


ce que j ai fait
1)   \forall a  ,b \in A  (a+b)²=a+b = a²+b²+ab+ba=a+b+ab+ba \implies ab+ba=0
2)  \forall a  \in A  (a+a)²=a+a = a²+a²+a²+a²=a+a+a+a \implies 2a=4a et par suite a+a=0
3)de 2) \forall a  \in A  a = -a de 1)  \forall a  ,b\in A  ab = -ba d ou le resultat (cad \times est commutatif
4) simple
5)on a 1²=1 \implies 1 \in A donc   \lbrace 0_A, 1 \rbrace     inclu  A incapable de montrer l inclusion dans l autre sens et merci

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : structures anneaux 27-04-22 à 07:58

Bonjour aya4545,
Je n'ai pas trouvé pour 5).
Deux remarques :
Pour 2), il suffit de faire b = a dans l'égalité du 1).
L'inclusion de {0 ; 1} dans A est évidente pour tout anneau.

Posté par
alfpfeu
re : structures anneaux 27-04-22 à 08:09

Bjr Bonjour

Anneau de Boole

* Modération > Lien facilité et style sms rectifié *

Posté par
aya4545
re : structures anneaux 27-04-22 à 13:11

bonjour
merci alfpfeu merci Sylvieg
ce que j ai compris a travers ce lien
il fallait donc montrer que l anneau A est integre sinon il contiendra au moin quatre élements
or un anneau de Boole n est pas forcement integre donc je pense qu il ya un probleme dans l exercice

je ne sais pas pourquoi dans le lien il a definit la relation d ordre (x,y) \in A^2      xRy    \iff x.y =x est ce que c est juste pour parler de plus petit et plus grand element ou bien  pour  autre chose

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : structures anneaux 27-04-22 à 17:58

Rebonjour,
Un lien vers un exercice dont l'énoncé semble plus fiable :
C'est l'exercice 4. Il y a des indications, puis un corrigé.

Posté par
aya4545
re : structures anneaux 27-04-22 à 22:57

salut
merci Sylvieg



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