salut Tony.
voila moi je te propose de dire que:
je pose f(x)= 2x/(2+3x)
je sais que (2+3x)> 2x donc f(x)<1
je sais pas quoi dire d'autre
mais fais attention ce n'est pas montrer c'est juste pour t'aider.

par contre pour la derniere question je pense que conne 0<Un
1  alors cette suite est bornée
par le nminorant 0 et le majorant 1
voila
c'est juste pour t'aider un peu
a+
adeline

Bonjour,

Par récurrence,

au rang 0: 0 < U0 <=1

supposons l'inégalité vraie au rang n :
0 < Un <=1
On a alors 0 < 2Un <= 2
et 2 < 2 + 3Un <= 5
donc 1/5 <= 1/(2+3Un) < 1/2
donc 0 <= 2Un/(2+3Un) < 1 (en multipliant membre à membre les inégalités
donc tous les termes sont positifs).

On en déduit que 0 < Un+1 < 1.

Par récurrence, on a démontré que pour tout n :
0 < Un <=1.

Adeline a donné la bonne conclusion : la suite est bornée...

@+

Si on a : 0 < U(k) < 1
alors:

0  < 3.U(k) < 3
0 + 2 < 2 + 3.U(k) < 3 + 2
2 < 2 + 3.U(k) < 5
1/5 < 1/(2+3.U(k) < 1/2
(1/5)*2 < 2/(2+3.U(k) < (1/2)*2
(2/5) < 2/(2+3.U(k) < 1
(2/5) < U(k+1) < 1
et a fortiori:
0 < U(k+1) < 1

-> Si 0 < U(n) < 1 est vrai pour une certaine valeur k de n, c'est
aussi vrai pour n = k+1.

Comme 0 < U(n) < 1 est vrai pour n = 0 , c'est vrai aussi pour n =
1.
Comme 0 < U(n) < 1 est vrai pour n = 1 , c'est vrai aussi pour n =
2.
Comme 0 < U(n) < 1 est vrai pour n = 2 , c'est vrai aussi pour n =
3.
Et ainsi de proche en provhe, on a 0 < U(n) < 1 pour tout n de N.
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La suite Un est bornée, minorée par 0 et majorée par 1.
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U(n+1)/U(n) = 2/(2+3U(n))
-> U(n+1)/U(n) < 1
U(n+1) < U(n)
Et donc la suite Un est décroissante.
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Un est décroissante et minorée, elle converge donc.

On a lim(n->oo) U(n) = lim(n->oo) U(n+1) = L

L = 2L/(2+3L)
2L + 3L² = 2L
3L² = 0
L = 0

La suite Un converge vers 0.
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Sauf distraction.    

Dans ma réponse précédente.

Remplacer 0 < U(k) < 1
par 0 < U(k) <= 1
et en tenir compte dans la suite.  

Merci tout le monde