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suite

Posté par (invité) 07-09-04 à 18:50

Salut, on considère la suite définie par U0=1 et Un+1=Un+2n+3 pour tout entier naturel n. comment faire pour déterminer la monotonie de la suite Un?merci

Posté par
Nightmarere : suite 07-09-04 à 18:55

Bonjour

Moi je dirais :

U_{n+1}=U_{n}+2n+3\Longleftrightarrow U_{n+1}-U_{n}=2n+3

On en déduit que pour pour tout n positif , :
U_{n+1}-U_{n}>0\Longleftrightarrow U_{n+1}>U_{n}

La suite est donc strictement croissante ..

MAis bon , aprés , les suite et moi c'est pas gégé alors j'attend confirmation

Posté par
muriel Correcteurre : suite 07-09-04 à 18:58

ceci m'a l'air correcte, Nightmare

Posté par (invité)re : suite 07-09-04 à 21:31

comment démontrer que Un supérieur à n²?

Posté par
muriel Correcteurre : suite 07-09-04 à 21:44

tu peux faire un raisonnement par récurrence:
pour n=0, 1>0 ok
on suppose que pour n, u_n>=n²
u_{n+1}=u_n+2n+3 \ge n^2+2n+3 par hypothèse de récurrence
et
n²+2n+3=(n+1)²+2
u_{n+1} \ge n^2+2n+3 \ge (n+1)^2+2 \ge (n+1)^2
donc pour tout n, u_n est supérieur à n²

voilà

Posté par
Nightmarere : suite 07-09-04 à 21:45

Je propose une démonstration par récurrence :

Tout dabord , vérifions le cas ou n=0 . U_{0}=1
0²=0 or 1>0 (jusqu'a preuve du contraire ) donc on a bien U_{0}>0² .

Supposons maintenant que la propriété P_{n}=U_{n}>n^{2} => P_{n+1}=U_{n+1}>(n+1)^{2}

(n+1)²=n²+2n+1 U_{n+1}=U_{n}+2n+1 , or , U_{n}>n^{2} donc P(n+1) est vérifié . on en déduit par récurrence que Un>n²


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