Pense à réfléchir à l'aide de Sn+1 puis reviens ensuite à Sn (n<->n+1 ou n-1<->n)

Dn est une suite géométrique de raison 3

salut.

alors on a :
U(0)=0
U(n+1)=[3*U(n) +1]/4, n>=0

V(0)=2
V(n+1)=[3*V(n) +1]/4, n>=0

a)pour tout n dans N on a S(n)=U(n)+V(n)

il faut donc d'abord calculer les U(0)...U(3) et les V(0)...V(3)

U(1)=1/4 U(2)=7/16 U(3)=37/64

V(1)=7/4 V(2)=25/16 V(3)=91/64

ce qui fait : S(0)=2 S(1)=2 S(2)=2 S(3)=2

a premiere vue S est constante.

montrons que pour tout n dans N S(n)=2
n=0 ok
soit n>=0 tel que S(n)=2 on regarde S(n+1)

S(n+1)=U(n+1)+V(n+1)={3*[U(n)+V(n)] + 2 } /4
et donc S(n+1)=[3*S(n)+2]/4
comme S(n)=2 (hypothese de recurrence)
on a donc S(n+1)=2
ce qui prouve l'heredite de la propriete "S(n)=2"
comme pour n=0 c'est vrai on a donc pour tout n dans N S(n)=2

2.a)D(n+1)=V(n+1)-U(n+1)=[3*(V(n)-U(n))]/4=3*D(n)/4

ce qui montre que la suite D est goemetrique de raison 3/4 (fait le rapport D(n+1)/D(n) et avec D(n+1)=3*D(n)/4 si tu ne le vois pas...)

b)D(n)=D(0)*(3/4)^n (implication directe de la question precedente)
et on a D(0)=2-0=2

donc Pour tout n dans N, D(n)=2*(3/4)^n

c) on a pour tout n dans N :
V(n)+U(n)=2             (1)
V(n)-U(n)=2*(3/4)^n     (2)

en faisant la somme (1)+(2) :
2*V(n)=2+2*(3/4)^n
donc V(n)=1+(3/4)^n

et en faisant la difference (1)-(2) :
2*U(n)=2-2*(3/4)^n
donc U(n)=1-(3/4)^n

conclusion pour tout n dans on a :
U(n)=1-(3/4)^n
V(n)=1+(3/4)^n

comme la suite ((3/4)^n) tend vers 0 quand n->+oo on a U et V qui converge vers la meme limite : 1.

Sauf erreur Sn=2 (U0+V0=U1+V1=2)

Vus les premiers termes tu peux conjecturer que Sn=2
Reste à le démontrer par récurrence.

Calcule les premiers termes de Dn, peut-eêtre pourras-tu conjecturer et démontrer par récurrence

Bon courage

oups !

J'ai fait 2 choses à la fois et j'ai raconté des betises

désolé

U(0) = 0 ; V(0) = 2 -> S(0) = 2
U(1) = 1/4 ; V(1) = 7/4 -> S(1) = 2
U(2) = 7/16 : V(2) = 25/16 -> S(2) = 2
...
S(n) = 2
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D(n) = V(n)-U(n)
D(n+1) = V(n+1)-U(n+1)
D(n+1) = [(3V(n) +1)/4] - [(3U(n) + 1)/4]
D(n+1) = (3V(n) +1-3U(n)-1)/4
D(n+1) = (3V(n) -3U(n))/4
D(n+1) = (3/4).(V(n) -U(n))
D(n+1) = (3/4).D(n)

D(0) = V(0) - U(0) = 2 - 0 = 2

Et donc Dn est une suite géométrique de raison = 3/4 et de premier terme = 2.
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D(n) = 2.(3/4)^n
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U(n) + V(n) = 2
V(n) - U(n) = 2.(3/4)^n

2.V(n) = 2 + 2.(3/4)^n
V(n) = 1 + (3/4)^n

U(n) = 2 - V(n)
U(n) = 1 - (3/4)^n
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lim(n->oo) V(n) = 1
lim(n->oo) U(n) = 1

Les suites Un et Vn convergent vers 1.
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Sauf distraction.  

De nouveau un doublon.  

merci a tous je v etudiez ca et essayer de savoir le refaire bien , si je compren pa je vous referai signe