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Posté par
jtorresm 01-06-21 à 22:26

Soit U une suite telle que:


$\displaystyle\sum_{i=1}^{n} u_i -1 = -n^2 + 4n -1$


Démontrer que U est une suite arithmétique dont on précisera le terme $u_1$ et la raison r.

Solution proposée:

On sait que:

$\displaystyle\sum_{i=1}^{n} u_i -1 = -n^2 + 4n -1$

Donc:

$\displaystyle\sum_{i=1}^{n+1} u_i -1 = -(n+1)^2 + 4(n+1) -1 = -(n^2+2n+1)+4n+4-1 = -n^2 + 2n + 2$

On peut décomposer:

$\displaystyle\sum_{i=1}^{n+1} u_i -1$

comme:

$ (u_{n+1} - 1) + \displaystyle\sum_{i=1}^{n} u_{i} -1$

Donc:

$ (u_{n+1} - 1) + \displaystyle\sum_{i=1}^{n} u_i -1 = -n^2 + 2n + 2$

Mais:

$\displaystyle\sum_{i=1}^{n} u_i -1 = -n^2 + 4n -1$

Donc:

$ (u_{n+1} - 1) +  (-n^2 + 4n -1) = -n^2 + 2n + 2$

Ce qui nous mène à:

$ u_{n+1} - 1 -n^2 + 4n - 1 = -n^2 + 2n + 2$

$ u_{n+1}  - 2 + 4n  =  2n + 2$

$ u_{n+1} =  2 -4n  + 2n + 2$

$ u_{n+1} =  4-2n$

On peut maintenant obtenir l'expression de u<sub>_n</sub>:
: \\ \\ $u_n = 4 - 2 (n-1) = 4 -2n + 2 = 6 - 2n$

Afin de démontrer que $u_n$ est arithmétique, on doit calculer l'expression $u_{n+1}-u_n $

$u_{n+1}-u_n = (4 -2n)-(6 - 2n) = 4-2n-6+2n=-2$

Donc:

$(u_n)$ est arithmétique de raison -2.

Son prémier terme u<sub>1</sub>  est:

u_1 = 6 - 2\times(1) = 4

Cependant, quand j'essaie de calculer les valeurs sur un tableur, les résultats ne semblen pas être correctes.

Une idée ?

Johnny

Posté par
LeHiboure : Suite 01-06-21 à 23:15

BONJOUR !!!
(revoir les règles de politesse du forum)

Le calculs me semblent exacts, je pencherais plutôt pour une erreur de programmation du tableur.

Posté par
caritare : Suite 02-06-21 à 01:00

bonjour à tous,

tes calculs amènent à des résultats exacts (u1=4 et r=-2)... mais qui ne marchent pas !

il y a une erreur dans l'énoncé : c'est $\displaystyle\sum_{i=1}^{n} (u_i -1) = -n^2 + 4n $        (sans le -1 à  la fin)
et là, tes résultats cadrent bien au tableur.

Posté par
Sylvieg Moderateurre : Suite 02-06-21 à 07:57

Bonjour,
Je confirme l'erreur d'énoncé décrite par carita, que je salue

Posté par
caritare : Suite 02-06-21 à 10:27

bonjour Sylvieg

l'exo étant terminé, je partage d'autres calculs possibles :

1) on peut se débarrasser, dès le début, du -1 dans le membre de gauche.

$\displaystyle\sum_{i=1}^{n} (u_i -1) =  \sum_{i=1}^{n} u_i -   \sum_{i=1}^{n} 1 =     \sum_{i=1}^{n} u_i - n  

ainsi $\displaystyle\sum_{i=1}^{n} u_i -1 = -n^2 + 4n $  est équivalent à  \sum_{i=1}^{n} u_i = -n^2 + 5n

en déduire que \sum_{i=1}^{n+1} u_i =...., puis u_{n+1} = 4-2n,  d'où u_{n} = 4-2(n-1)


2) le terme général d'un terme de suite arithmétique de 1er terme u1 et de raison r s'écrit  u_n = u_1 + (n-1)r

en comparant avec u_{n} = 4-2(n-1), j'en déduis sans autre calcul que u1=4 et r=-2
j'ai un doute : est-ce suffisant pour démontrer ?


3) remarque : il est rapide d'obtenir u1 avec la définition, en remplaçant n par 1
\sum_{i=1}^{n} u_i = -n^2 + 5n devient u_1 = -n^2 + 5n = -1+5=4


4) la somme des termes d'une suite arithmétique de 1er terme u1 et de raison r , s'écrit
S =\dfrac{n(u_1 + u_n)}{2} = n\dfrac{2u_1 + (n-1)r}{2} =  n\dfrac{2u_1 - r + nr}{2}

or on a    S = -n² + 5n = n(5-n) =  \dfrac{ 2n(5-n)}{2} =   n\dfrac{ (10-2n)}{2}  

par identification, on trouve r=-2  et u1 = 4

Posté par
carpediemre : Suite 02-06-21 à 13:24

salut

un exercice intéressant mais plein de pb ...

vu la résolution menée par jtorresm (raisonnement dont je ne vois pas d'erreur ... à priori) alors quand il lit

jtorresm @ 01-06-2021 à 22:26

\sum_{i=1}^{n} u_i -1 = -n^2 + 4n -1$

en fait il lit \sum_{i=1}^{n} {\red (}u_i -1 {\red )} = -n^2 + 4n -1$       ce qui n'est pas la même chose ... (premier pb)

considérons pour l'instant cette relation :

alors pour n = 1 on en déduit u_1 - 1 = 2  donc  u_1 = 3 (deuxième pb : puisqu'on ne trouve pas la même chose)

ensuite puisqu'on a n termes alors (on sait que) \sum_1^n u_n = \dfrac 1 2 n \times f(n) où f est une fonction affine

de plus on remarque (à prouver) si (u_n) est arithmétique alors il en est de même et avec la même raison de la suite (u_n + c) où c est une constante réelle donc :

a/ le terme constant est donc faux : il ne peut pas y en avoir ...
b/ pourquoi considérer la somme u_n + 1 et compliquer inutilement le pb ...

c'est pourquoi jtorresm trouve la bonne raison (voir rem.) mais avec un pb de premier terme faux ou problématique à cause de l'énoncé qui l'est lui-même ...

considérons maintenant la relation S = \sum_{i=1}^{n} u_i = -n^2 + 4n

donc 2S = n(-n + 4) = n(2 + 2 - n)

on trouve alors que la suite (u_n) est la suite arithmétique de premier terme 2 et de raison -1

là ça marche et c'est autrement plus cool car (plus) simple pour l'objectif pour lequel un enseignant donnerait ce pb ... du moins dans mon cas !!!

Posté par
Sylvieg Moderateurre : Suite 02-06-21 à 14:12

Effectivement, sans parenthèses, l'énoncé revient à \sum_{i=1}^{n} u_i = -n^2 + 4n
C'est ce que tu proposes carpediem

Mais je préfère rester sur l'énoncé tel que carita l'a rectifié :

Citation :
Soit U une suite telle que:


$\displaystyle\sum_{i=1}^{n} (u_i -1) = -n^2 + 4n$


Démontrer que U est une suite arithmétique dont on précisera le terme u_1 et la raison r.
J'ai l'impression que vous ne démontrez ni l'un ni l'autre que la suite est arithmétique.

Pour n 1 on a \; $\displaystyle\sum_{i=1}^{n}( u_i -1) = -n^2 + 4n$ ; donc \; S_n $\displaystyle = \sum_{i=1}^{n} u_i = -n^2 + 4n + n = -n^2 + 5n $ .
Ce qui donne pour n = 1 : \; S_1 = u_1 = 4

On en déduit aussi, pour n 2, les égalités \; u_{n} = S_{n} - S_{n-1} = -n^{2} + 5n + (n-1)^{2} - 5(n-1) = -2n + 6

D'où, pour tout n 1 : \; u_{n} = -2n + 6

Et la suite est arithmétique de raison -2 et de premier terme 4.

Posté par
carpediemre : Suite 02-06-21 à 14:31

on peut rester sur cette énoncé bien sûr !!

mais d'un point de vu pédagogique la translation de -1 n'a aucun intérêt ...

Citation :
donc 2S = n(-n + 4) = n(2 + 2 - n)

on trouve/prouve ainsi alors que la suite (u_n) est la suite arithmétique de premier terme 2 et de raison -1
car l'expression de S est exactement la formule de la somme des (n premiers termes de la suite arithmétique de raison -1 et de premier terme 2 car c'est pour tout n

Posté par
Sylvieg Moderateurre : Suite 02-06-21 à 14:36

L'erreur de jtorresm et d'avoir démontré \; $ u_{n+1} = 4-2n$ \; pour \; n 1 ; puis d'en déduire l'expression de \; un en remplaçant n par n-1.
Mais alors on a \; n-1 1 \; qui donne \; n 2 .

Avec l'énoncé \; \sum_{i=1}^{n} (u_i -1) = -n^2 + 4n - 1 , on trouve une suite définie par
u1 = 3 \; et \; un = -2n+4 \; pour n 2 .
Et elle n'est pas arithmétique.

Posté par
Sylvieg Moderateurre : Suite 02-06-21 à 14:36

Messages croisés

Posté par
carpediemre : Suite 02-06-21 à 14:58

ha oui !! bien vu !!

Posté par
Sylvieg Moderateurre : Suite 02-06-21 à 18:12

L'erreur de jtorresm est

Posté par
jtorresmre : Suite 03-06-21 à 04:59

Merci infiniment à tous ceux qui ont pris le temps de répondre.

Johnny

Posté par
Sylvieg Moderateurre : Suite 03-06-21 à 07:52

De rien, et à une autre fois sur l'île \;


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