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Posté par
matheux14 15-10-21 à 10:16

Bonjour,

Bonsoir,

Soit la suite de terme général u_n = \dfrac{n^3+2}{n^3+n²+5}.

Trouver un entier N, tel que, si n \ge N, on ait |u_{n} -1| < 10^{-2}.

Plus généralement,       \epsilon  étant un nombre réel strictement positif, déterminer un entier N, tel que, si n \ge N, on ait  |u_n -1| < \epsilon.
Qu'a-t-on démontré pour la suite (u_n) ?

J'arrive \dfrac{1}{n^3+n²+1}-\dfrac{n²}{n^3+n²+1} < 10^{-2}

Mais je n'arrive pas à trouver le n

Posté par
Sylvieg Moderateurre : Suite 15-10-21 à 10:41

Bonjour,
Ton premier membre est négatif dès que n > 1.
Donc toujours inférieur à 10-2.
Cherche l'erreur.

Posté par
bernardo314re : Suite 15-10-21 à 11:31

Bonjour,

à ta place je ferais apparaître le  1  dans  un  ensuite il suffira de majorer ce qui reste dans  un-1

Posté par
carpediemre : Suite 15-10-21 à 19:30

salut

1/ tout d'abord remarquer/constater/justifier que u_n \le 1

2/ donc calculer proprement 1 - u_n

Posté par
Razesre : Suite 15-10-21 à 19:48

Bonsoir,

u_n=f (n); f est décroissante et a y=1 pour asymptote.

Tu peux calculer 1-u_n  et effectuer un petit développement limité de la fraction pour n grand ou trouver un équivalent puis trouver à partir de quel N cet équivalent est inférieur à 10^{-2}.

Une autre façon de faire; u_n decroissante; calculer 1-u_n jusqu'a obtenir ton critère.  Mais c'est fastidieux.

Posté par
Razesre : Suite 15-10-21 à 20:25

Bonsoir carpediem,

Je n'avais pas vu ton poste.

Posté par
matheux14re : Suite 17-10-21 à 23:32

Pour l'expression de (un) c'est plutôt u_n = \dfrac{n^3+2}{n^3+n²+1}

On a : \dfrac{1}{n^3+n²+1}-\dfrac{n²}{n^3+n²+1} \le 10^{-2}

Or \dfrac{1}{n^3+n²+1} \le \dfrac{1}{n} et -\dfrac{n²}{n^3+n²+1} \le \dfrac{1}{n}

\Rightarrow \dfrac{n²-1}{n^3+n²+1} \le \dfrac{2}{n}

|u_{n} -1| \le 10^{-2} \Rightarrow \dfrac{2}{n} \le 10^{-2}

n \ge 200

N = 200

* |u_n -1| \le \dfrac{2}{n} \le  \epsilon

\dfrac{2}{n} \le  \epsilon

n \ge \dfrac{2}{\epsilon}

Donc N=E\left(\dfrac{2}{\epsilon}\right)+1 ; pour tout n \ge N  |u_n -1| \le \epsilon

Posté par
matheux14re : Suite 17-10-21 à 23:37

carpediem @ 15-10-2021 à 19:30

salut

1/ tout d'abord remarquer/constater/justifier que u_n \le 1

2/ donc calculer proprement 1 - u_n


\forall n \in \N ; n^3+2 \le n^3+n²+5 donc u_n \le 1

1-u_n = \dfrac{n²-1}{n^3+n²+1}

Posté par
matheux14re : Suite 17-10-21 à 23:42

Citation :
u_n=f (n); f est décroissante et a y=1 pour asymptote.

Tu peux calculer 1-u_n  et effectuer un petit développement limité de la fraction pour n grand ou trouver un équivalent puis trouver à partir de quel N cet équivalent est inférieur à 10^{-2}. on n'a pas encore vu les développements limités. Je ne sais pas si c'est la même chose que les suites équivalentes qu'on a vu.

Une autre façon de faire; u_n decroissante; calculer 1-u_n jusqu'a obtenir ton critère.  Mais c'est fastidieux. j'ai pas vraiment compris

Posté par
Sylvieg Moderateurre : Suite 18-10-21 à 08:15

Bonjour,
Pas de développement limité pour une chose aussi simple !
Ne pas partir de ce qu'on veut démontrer.
Transformer l'expression proposée par carpediem ; la majorer par quelque chose de simple, genre k/n ; et conclure avec des outils de terminale.

Posté par
carpediemre : Suite 18-10-21 à 17:14

matheux14 @ 15-10-2021 à 10:16

Plus généralement,       \epsilon  étant un nombre réel strictement positif, déterminer un entier N, tel que, si n \ge N, on ait  |u_n -1| < \epsilon.
...
Mais je n'arrive pas à trouver le n

une fois qu'on a
matheux14 @ 17-10-2021 à 23:37

1-u_n = \dfrac{n²-1}{n^3+n²+1}
alors on peut résoudre exactement l'inéquation 1 - u_n \le e pour tout e > 0

c'est évidemment une inéquation polynomiale du troisième degré qu'on sait résoudre exactement avec des formules affreuses !! et qui donnerait le plus petit N tel que ...

mais puisqu'on veut un N tel que ... on en va sûrement pas se fatiguer et
Sylvieg @ 18-10-2021 à 08:15


Transformer l'expression proposée par carpediem ; la majorer par quelque chose de simple, genre k/n ; et conclure avec des outils de terminale.
c 'est à dire travailler par conditions suffisantes ... et alors en une ligne c'est pliée

Posté par
matheux14re : Suite 18-10-21 à 19:01

On a : 1- u_n=\dfrac{n²}{n^3+n²+1}-\dfrac{1}{n^3+n²+1} \le 10^{-2}

Or \dfrac{n²}{n^3+n²+1} \le \dfrac{1}{n} et -\dfrac{1}{n^3+n²+1} \le \dfrac{1}{n}

\Rightarrow  1- u_n=\dfrac{n²}{n^3+n²+1}-\dfrac{1}{n^3+n²+1} \le \dfrac{2}{n}

|1-u_{n} | \le 10^{-2} \Rightarrow \dfrac{2}{n} \le 10^{-2}

n \ge 200

N = 200

Posté par
carpediemre : Suite 18-10-21 à 19:17

pas avec 10^(-2) mais dans le cas général !!

il faut arrêter avec ces on a

la dernière implication est fausse ...

Posté par
matheux14re : Suite 18-10-21 à 19:25

Pourquoi est ce qu'elle est fausse ?

Posté par
carpediemre : Suite 18-10-21 à 19:32

parce que n = 100 convient ...

as-tu lu sérieusement mon msg de 17h14 ?

Posté par
matheux14re : Suite 18-10-21 à 19:37

Bien sûr, mais c'est ce que je viens de faire non ?

Posté par
carpediemre : Suite 18-10-21 à 20:02

ben non !!!

matheux14 @ 18-10-2021 à 19:01


|1-u_{n} | \le 10^{-2} \Rightarrow \dfrac{2}{n} \le 10^{-2}

n \ge 200

N = 200
ce qui se résume en |1-u_{n} | \le 10^{-2} \Rightarrow n \ge 200
or je viens de te dire que par exemple n = 100 convient

donc ton implication est fausse !!!

Posté par
matheux14re : Suite 18-10-21 à 20:13

Mais on demande un N non ?

Comment raisonner par condition suffisante ?

Posté par
carpediemre : Suite 18-10-21 à 20:51

ggb me permet d'affirmer (et je pourrai le montrer que) 1 - u_n \le 10^{-2} \iff n \ge 99

donc toute implication 1 - u_n \le 10^{-2} \Longrightarrow n \ge k avec k > 99 est fausse !!! (comme pour ton k = 200)

et toute implication 1 - u_n \le 10^{-2} \Longleftarrow n \ge k avec k > 99 est vraie !!! (comme pour ton k = 200)

et pour faire un raisonnement par condition suffisante il faut utiliser cette flèche :

1 - u_n \le 10^{-2} \iff \dfrac {n^2 - 1} {n^3 + n^2 + 1} \le 10^{-2} \Longleftarrow \dfrac {2 n^2}{n^3} \le 10^{-2} \Longleftarrow n \ge 200

je majore le numérateur et je minore le dénominateur !!!

la flèche a < c \Longleftarrow b < c peut se traduire par : pour avoir a < c il suffit d'avoir b < c (en choisissant b > a !!! bien sûr)

Posté par
matheux14re : Suite 18-10-21 à 22:11

D'accord mais j'ai pas compris ce que vous voulez dire..

Qu'est ce que je dois faire ?

Posté par
lafol Moderateurre : Suite 18-10-21 à 22:29

Bonjour
moi je n'ai toujours pas compris quel est l'énoncé, parfois il y a un 5 parfois un 1, ça dépend de l'heure ? du sens du vent ?

Posté par
matheux14re : Suite 18-10-21 à 22:35

Citation :
Pour l'expression de (un) c'est plutôt u_n = \dfrac{n^3+2}{n^3+n²+1}

Posté par
lafol Moderateurre : Suite 18-10-21 à 22:41

Sauf que plus tard tu recommences avec un 5....

Posté par
Sylvieg Moderateurre : Suite 19-10-21 à 08:01

Bonjour,
Une remarque sur

Citation :
1/ tout d'abord remarquer/constater/justifier que u_n \le 1
Pas pour n = 0


Je réponds ensuite à
Citation :
Comment raisonner par condition suffisante ?
En n'écrivant pas au départ " 10-2 ".
Pour n 1, on a |un-1| = 1-un = (n2-1) / (n3+n2+1)

Il est facile de démontrer que \; 0 (n2-1) / (n3+n2+1) 1/n \; dès que \; n 1 .

Donc, il suffit que n 1 et 1/n 10-2 pour que |un-1| 10-2.

Posté par
Sylvieg Moderateurre : Suite 19-10-21 à 08:26

"Pas pour n = 0" avec l'expression de un confirmée à 22h35.
C'était vrai avec celle du premier message...

Posté par
carpediemre : Suite 19-10-21 à 09:55

oui effectivement j'étais d'abord parti avec un 5 ...

oui je suis reste "grossier" dans mes encadrements ...
mais on peut effectivement atteindre 100 très simplement ...


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