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Posté par
smir 03-03-24 à 10:48

Bonjour
J'ai un exercice , voici l'énoncé:
Soit la suite \left(U_{n} \right) définie par:
U_{0}=4 \ et\ U_{n+1}=2U_{n}-3

Montrer par récurrence que ∀ n ∈ N: U_{n}\geq n

J'ai utilisé la démonstration par récurrence:
U_{0}\geq 0 donc la relation est vraie pour n=0
J'ai supposé que U_{n}\geq n
Et j'ai démontré que U_{n+1}\geq 2n-3
En suite j'ai comparé 2n-3 et n+1
(2n-3)-(n+1)=n-4
Mais est ce que ce résultat est positif





Posté par
GBZMre : suite 03-03-24 à 11:08

Bonjour,
Il est facile de dire pour quels n on a n-4 \geq 0,
Tu as donc à initialiser ta récurrence un peu plus loin que 0, et traiter explicitement tous les cas avant. Une autre option est de démontrer quelque chose de plus fort (et donc d'avoir une hypothèse de récurrence plus forte)

Posté par
smirre : suite 03-03-24 à 12:29

Mais la valeur la plus petite prise par la suite est Uo=4

Posté par
smirre : suite 03-03-24 à 13:19

Ou bien est ce que on peut commencer par U4=19\geq 4 donc la relation est vraie pour n=4

Posté par
GBZMre : suite 03-03-24 à 13:24

Mezalor il faut regarder ce qui se passe jusqu'à 4. Je te laisse rédiger correctement.

Posté par
smirre : suite 03-03-24 à 13:42

Pour n=0 on a U0=4 >=0

Pour n=1 on a U1=5 >=1

Pour n=2 on a U2=7 >=2

Pour n=3 on a U3=11 >=3

Pour n=4 on a U4=419>=4

Posté par
smirre : suite 03-03-24 à 13:43

Pardon U4=19>=4

Posté par
GBZMre : suite 03-03-24 à 18:26

La rédaction n'est pas finie ...

Posté par
smirre : suite 03-03-24 à 19:40

Bonjour,
U_{4}=19\geq 4 , donc la relation est vraie pour n=4
supposons que que U_{n}\geq n pour n\geq 4

Et montrons que U_{n+1}\geq n+1
Comme U_{n}\geq n alors
2U_{n}-3\geq 2n-3

(2n-3)-(n+1)=n-4
Pour n\geq 4\ alors \ n-4\geq 0

Ainsi: U_{n+1}\geq 2n-3\geq n+1
Donc pour n\geq 4,\ U_{n+1}\geq n+1

Posté par
GBZMre : suite 03-03-24 à 22:11

L'autre option : montrer par récurrence u_n \geq n+4 pour tout entier naturel n.


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