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Bonsoir, j'ai un devoir maison à faire et je l'ai terminé et j'aimerai bien le corriger avant de le rendre merci beaucoup ! :
La loi de refroidissement de Newton stipule que le taux d'évolution de la température d'un corps est proportionnel à la différence entre la température de ce corps et celle du milieu environnant.
Une tasse de café est servie à une température initiale de 80 °C dans un milieu dont la température, en degré Celsius, supposée constante, est notée M.
Objectif: on se propose d'étudier le refroidissement du café en appliquant la loi de Newton.
Pour tout entier naturel n, on note Tn, la température du café à l'instant n, avec Tn', en degré Celsius, et n en minute.
Ainsi, To = 80.
On modélise la loi de Newton entre deux minutes consécutives quelconques n et n + 1 par l'égalité :
Tn+1 - Tn = k(Tn -M)
où k est une constante réelle.
On choisit M = 10 et k = - 0,2.
Ainsi, pour tout entier naturel n,
Tn+1 - Tn = - 0,2(T, -10).
Tn+1 - Tn = - 0,2 (T, - 10).
1) D'après le contexte, peut-on Conjecture le sens de variation de la suite (Tn) ?
2) Montrer que pour tout n de N, Tn+1 = 0,8 Tn + 2
3. a) Déterminer une suite constante vérifiant la relation de récurrence suivie par (Tn).
b) En déduire que, pour tout entier naturel n
Tu = 70x0,8^n +10.
c) Déterminer la limite de la suite (Tn)
4. On considère l'algorithme
Tant que T≥ A
T <- 0,8T + 2
n <- n+1
a) Au début, on affecte la valeur 80 à la variable T et à la variable T et la valeur 0 à la variable n.
Pour la valeur A = 40, recopier et compléter autant que nécessaire le tableau suivant.
T | 80 66. …
n | 0 …. …
condition T > A | vrai …. faux
b) En déduire la valeur de n à la fin de l'exécution de l'algorithme lorsque la valeur de A est 40.
c) Interpréter cette valeur dans le contexte de cette situation
voici ce que j'ai fait :
1)
La suite Tn représente la température du café d'après le contexte la température diminue au fil du temps pour se rapprocher de la température ambiante (10°C).
On peut donc conjecturer que la suite Tn est strictement décroissante tant que Tn > 10
et qu'elle tend vers 10°C
2)
On utilise la loi de refroidissement de Newton. Elle donne :
Tn+1 - Tn = -0,2(Tn - 10)
En développant :
Tn+1 - Tn = -0,2Tn + 2
En isolant Tn+1 :
Tn+1 = Tn - 0,2Tn + 2 = 0,8Tn + 2
3A)
Si Tn est constante, alors Tn+1 = Tn = L.
En remplaçant dans Tn+1 = 0,8Tn + 2 on a :
L = 0,8L + 2
En isolant L :
L - 0,8L = 2
0,2L = 2
L = 2 / 0,2 = 10
3B)
On pose Tn = Un + 10
En remplaçant dans Tn+1 = 0,8Tn + 2 on a :
Un+1 + 10 = 0,8(Un + 10) + 2
En développant :
Un+1 + 10 = 0,8Un + 8 + 2
Un+1 = 0,8Un
La suite Un est une suite géométrique de raison 0,8 et de premier terme U0 = T0 - 10 = 80 - 10 = 70.
La formule d'une suite géométrique est :
Un = U0 * 0,8^n = 70 * 0,8^n
Donc :
Tn = Un + 10 = 70 * 0,8^n + 10
3)c)
Quand n tend vers +infini 0,8^n tend vers 0 (car 0 < 0,8 < 1).
En utilisant la formule Tn = 70 * 0,8^n + 10, on a :
lim (n->+infini) Tn = 70 * 0 + 10 = 10
La limite de la suite Tn est 10 ce qui signifie que la température du café se stabilise à 10°C qui est la température
question 1 sens de variation strictement décroissante, le reste n'est pas obligatoire.
2 bien
3a je ne rédigerais pas ainsi
Soit une suite constante verifiant
d'où
la suite constante est la suite définie pour tout
par
Pourquoi posez-vous sans faire les présentations de
j'ai essayé de réactifier
1) la température du café diminue progressivement pour se rapprocher de la température ambiante
(10°C)
On peut donc conjecturer que la suite Tn est strictement décroissante, tant que
Tn > 10
3)a)
Si Tn est constante alors Tn+1 = Tn = L
En remplaçant dans la relation
Tn+1 = 0,8Tn + 2, on obtient :
L= 0,8L + 2
En isolant L :
L- 0,8L = 2 → 0, 2L = 2
L= 2/ 0,2 = 10
La suite constante vérifiant cette
relation est L = 10.
Êtes-vous certain(e) du texte ? Il diffère de celui du bac S Asie 2019 quant à la définition de la suite auxiliaire.
Je ne vois pas comment on peut poser sauf à le dire explicitement.
Ensuite, on peut montrer que cette suite est une suite géométrique
de raison 0,8 et de premier terme 70.
On est alors loin d'une suite constante.
Ce n'est pas votre texte en cause. Pour l'instant, je ne vois pas comment
la suite cherchée est constante, pour ensuite être définie par
. Ce que l'on peut avoir est une suite de terme général
dont sa différence avec
pour tout
est constante.
j'irais consulter mon professeur mais finalement est ce que le devoir maison est fini et enfin juste ?
Le passage par la suite géométrique est correct
oui
Vous n'avez pas complété le tableau, ce qui ne devrait pas poser de problèmes.
salut
question 1 sens de variation strictement décroissante, le reste n'est pas obligatoire.
par contre le terme "strictement" n'est pas obligatoire car pas certain et je ne le mettrai certainement pas ...
Ce n'est pas votre texte en cause. Pour l'instant, je ne vois pas comment
la suite cherchée est constante, pour ensuite être définie par
(*) le cours dit que si la suite v est une solution constante alors la suite u - v est géométrique de raison 0,8
donc on en déduit que
enfin on peut constater que
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