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suite

Posté par (invité) 12-03-04 à 18:14

Coucou voila mon problème :
On définit la suite réelle U par U(indice 0)=0, U (indice 1)=1 et quelque
soit n appartient a N U(indice n+2)= 3/2U(indice n+1)-1/2U (indice
n)
1.Calculer U (indice 2) et U (indice 3)
Soit W la suite définie sur N par : quelque soit n appartient aa N, W(indice
n) = U(indice n+1)-U(indice n)
2.Montrer que W est géométrique et donner l'expression de Wn en fonction de
n
3a. Calculer S(indice n-1)=W(indice 0)+ W(indice 1)+…+ W(indice n-1)
en function de n, entier naturel non nul
3b. Montrer que quelque soit n appartient N*, S(indice n-1)= U(indice
n)
(Suggestion : pour la clarté de l'explication, additionner des égalités membre
à membre.)
4.En déduire l'expression de U(indice n) et déterminer la limite de la
suite U

Merci de m'expliquer en me donnant du détail pour que je comprenne bien
merci

Posté par
Victor
re : suite 12-03-04 à 19:14

Bonsoir,

U(indice 0)=0, U (indice 1)=1 et quelque
soit n appartient a N U(indice n+2)= 3/2U(indice n+1)-1/2U (indice
n)
1.Calculer U2=3/2 U1-1/2 U0=3/2
U3=3/2 U2-1/2U1=9/4-1/2=7/4

2)W(n+1)=U(n+2)-U(n+1)= 3/2U(n+1)-1/2Un-U(n+1)
=1/2 U(n+1)-1/2Un
= 1/2 (U(n+1)-Un)
= 1/2 Wn
Donc Wn est une suite géométrique de raison 1/2 et de premier terme W0=U1-U0=1
Wn=1/2^n
3a. S(n-1)=W0+ W1+…+ W(n-1)=(W0-1/2*(W(n-1)))/(1-1/2)
S(n-1)=2*(1-1/2^n)

3b. Montrer que quelque soit n appartient N*,
W0=U1-U0
W1=U2-U1
...
W(n-2)=U(n-1)-U(n-2)
W(n-1)=Un-U(n-1)
En additionnant membre à membre les égalités, on obtient
S(n-1)= Un-U(n-1)+U(n-1)-U(n-2)+....+U2-U1+U1-U0
tous les termes se simplifie sauf Un et U0
Donc S(n-1)=Un-U0=Un car U0=0

4. Un= 2*(1-1/2^n)
et la limite de 1/2^n quand n tend vers +inf est égale à 0 car 0<1/2<1.
Donc limite de Un=2


@+



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