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Suite arithmético géometrique

Posté par
manjot12 23-09-18 à 21:36

Bonsoir ,
je n'arrive pas à résoudre cet exo :
Un+1 = 2/3Un-1  et U0 = -2
Soit la limite supposé de Un
et Vn = Un -
1) Calculez les valeurs exactes des 3 premiers termes de la suite Vn

J'ai trouvé V0 = -2-            V1= -7/3 -              et V2 = -23/9-                        

2)Démontrez que Vn est une suite géometrique

Donc c'est la que je bloque j'ai trouvé que Vn+1= 2/3 Vn -1/3 -1
et je n'arrive pas a prouver que c'est géométrique.

3)Exprimer Vn et Un en fonction de n
Vn=V0-(2/3)^n
Un= Vn + donc Un=  V0-(2/3)^n + a
3) déduisez la limite de la suite
La limite de la suite est -3
Merci de bien vouloir m'aider je vous serai reconnaissant

Posté par
PLSVUre : Suite arithmético géometrique 23-09-18 à 21:44

Bonsoir
U_{n+1}=\dfrac{2}{3U_n-1}

ou

U_{n+1}=\dfrac{2}{3U_n}-1

Posté par
manjot12re : Suite arithmético géometrique 23-09-18 à 21:57

BONSOIR,
Désolé  
Un+1 = (2/3) * Un -1
et
V1 = (-7/3) -
V2=(-23/9)-
Vn+1=(2/3) * Vn - (1/3) * -1

Posté par
PLSVUre : Suite arithmético géometrique 23-09-18 à 22:12

V_n=U_n-a \\

V_{n+1}=\dfrac{2}{3}U_n-1-a=\dfrac{2}{3}(U_n-a)=\dfrac{2}{3}U_n-\dfrac{2a}{3} \\

-1-a=\dfrac{-2a}{3}

Posté par
heklare : Suite arithmético géometrique 23-09-18 à 22:14

bonsoir

la suite est peut-être   u_{n+1}=\dfrac{2}{3}u_n-1


v_n=u_n-\alpha \quad v_0=u_0-\alpha=-2-\alpha

v_1=\dfrac{2}{3}\times -2-1-\alpha= -\dfrac{7}{3}-\alpha


v_{n+1}=u_{n+1}-\alpha=\dfrac{2}{3}u_n-1-\alpha =\dfrac{2}{3}\left(u_n-\dfrac{1+\alpha}{\frac{2}{3}}\right)=\dfrac{2}{3}\left(u_n-\dfrac{3}{2}(\alpha+1)\right)


pour que la suite soit géométrique on doit alors avoir \dfrac{3}{2}(\alpha+1)=\alpha

d'où \alpha

Posté par
manjot12re : Suite arithmético géometrique 23-09-18 à 22:30

PLSVU
Je n'arrive pas à comprendre comment on a trouvé -2a/3 ?
hekla
Oui c'est bien cette suite
Donc alors a = -3 j'ai fait le calcul mais à la question 3 on me demande de démontrer que c'est une suite géométrique et c'est après à la question 5 qu 'on me demande la valeur de .
C'est vraiment bizarre cet exo :?

Posté par
heklare : Suite arithmético géometrique 23-09-18 à 22:48

dire que la suite est géométrique  à cette condition  seulement

ce qui n'empêche pas d'écrire le terme général de (v_n) ni de (u_n)

mais c'est bien à la question 2 que l'on peut déterminer la valeur de \alpha
après il n' a aucun renseignement qui peut nous faire deviner cette valeur

tout à fait d'accord le problème est très mal posé

Posté par
manjot12re : Suite arithmético géometrique 23-09-18 à 23:04

hekla
Merci pour la remarque
ON me demande égalemen\sum_{k=0}^{n}{U_{k}}=U_{0}+U_{1}+.....U_{n} \\
Je  sais queU_{n}= (\frac{2}{3})^{n}-3
Donc
\sum_{k=0}^{n}{U_{k}}=U_{0}+U_{1}+.....U_{n}= 1-2n-3n-3=-5n-2
est ce que c'est juste?
Merci pour l'aide

Posté par
heklare : Suite arithmético géometrique 23-09-18 à 23:19

comment trouvez-vous cela  ?

\displaystyle \sum_{k=0}^{k=n}u_k=\sum_{k=0}^{k=n}v_k+(n+1)\times(-3)

Posté par
manjot12re : Suite arithmético géometrique 24-09-18 à 12:55

\frac{1*(\frac{2}{3})^{(n+1)}-1}{\frac{2}{3}-1}-3n-3
Est ce bien cela ?

Posté par
manjot12re : Suite arithmético géometrique 24-09-18 à 13:30

pouvez vous m'aider svp

Posté par
PLSVUre : Suite arithmético géometrique 24-09-18 à 13:42

OK , mais c'est simplifiable car  

c≠0

\dfrac{a}{\dfrac{b}{c}}=a\times \dfrac{c}{b}

rappel d'une  formule vue au collège

Posté par
PLSVUre : Suite arithmético géometrique 24-09-18 à 13:44

\dfrac{a}{\dfrac{b}{c}}=a \times \dfrac{c}{b}

Posté par
manjot12re : Suite arithmético géometrique 24-09-18 à 13:58

PLSVU
Oui je comprends masi je laisse comme cela car je dois calculer la limite
Et on trouve bien que la limitee est -infini ?

Posté par
heklare : Suite arithmético géometrique 24-09-18 à 14:19

\displaystyle  \sum_{k=0}^{k=n}u_k=\dfrac{1-\left(\frac{2}{3}\right)^{n+1}-1}{1-\dfrac{2}{3}}-3n-3=3\left(1-\left(\dfrac{2}{3}\right)^{n+1}\right)-3n-3 =-3\left(\dfrac{2}{3}\right)^{n+1}-3n

Posté par
heklare : Suite arithmético géometrique 24-09-18 à 14:21

oui

\displaystyle  \lim_{n\to +\infty}-3\left(\dfrac{2}{3}\right)^{n+1}-3n=-\infty

Posté par
PLSVUre : Suite arithmético géometrique 24-09-18 à 14:22

OK  la limite de  la somme de termes de  la suite  (Un) est   - infini

Posté par
heklare : Suite arithmético géometrique 24-09-18 à 14:23

édité car un -1 en trop  14:19

\displaystyle  \sum_{k=0}^{k=n}u_k=\dfrac{1-\left(\frac{2}{3}\right)^{n+1}}{1-\dfrac{2}{3}}-3n-3=3\left(1-\left(\dfrac{2}{3}\right)^{n+1}\right)-3n-3 =-3\left(\dfrac{2}{3}\right)^{n+1}-3n

Posté par
manjot12re : Suite arithmético géometrique 24-09-18 à 19:08

Merci beaucoupheklaet PLSVU pour votre aide.

Posté par
heklare : Suite arithmético géometrique 24-09-18 à 19:17

de rien


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