Inscription / Connexion Nouveau Sujet
Suite auto-descriptive
Bonjour à tous,
Je suis bloqué sur un problème car même en le l'ayant compris je n'en comrpends si comment' partir. Pourriez-vous me donner des pistes de raisonnement.
« La suite auto descriptive f(k) ou k est un entier naturel non nul, est l´unique suite croissant d'entiers naturels qui verifie f(1)=1 et contient exactement f(k) occurrences de chaque entier k. Quelques instants (?) de réflexion permettent de trouver le début de la suite.
n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
f(n) 1 2 2 3 3 4 4 4 5 5 5 6
Soit g(n) le plus grand entier m tel que f(m) = n. Montrer que :
a. g(n) = somme pour k variant de 1 à n des f(k)
b. g(g(n)) = somme pour k variant de 1 à n des k*f(k)
c. g(g(g(n))) = 1/2 *n*g(n)*(g(n)+1) -1/2 *(somme pour k variant de 1 à n-1 des g(k))*(g(k)+1)
bonjour,
je n'ai sans doute pas compris, mais je pensais qu'il aurait fallu trois "3" et non pas 2 ou alors il faut compter le "3" de la première ligne mais alors pourquoi pas quatre "5" à la suite... et non pas un "6". Peux-tu m'éclairer sur ce point ?
Bonjour Domorea,
En faites, f(n) correspond au nombre d´occurences du nombre n dans la suite. Donc par exemple pour n=2, comme f(n)=2, il y aura 2 fois le terme 2 ce qui nous permet d'ecrire la suite de la suite à savoir pour n=3, f(n)=2 (c'est le deuxième deux définir plus tôt) ce qui signifie qu'il y aura 2 chiffres 3. Je ne sais pas si j'ai été assez clair.
bonjour,
ok j'ai compris,
je pense que pour a) il faut faire un raisonnement par récurence
L'initialisation est une vérification: G(1)=1, g(2)=3, g(3)= f(1)+f(2)+f(3)=1+2+2=5
Hypothèse de récurence
g(n+1)= rang qui amorce les "n" + le nombre de termes de valeurs "n+1" donc f(n+1)
d'où
cela demande à être un peu plus formalisé
re,
Je pense que pour b) une récurence est possible
Tu as d'apres a)
après l'initialisation
tu poses l'hypothèse
regarde
essaye d'étudier le 2ème terme de cette somme
Merci Domorea,
Pour la question à) c'est ce que j'avais fait mais je ne sais pas comment justifier que g(n+1)=g(n) + f(n+1)
Pour la question b j'avais pas pensé a refaire une récurrence parce qu'en je ne savais pas comment réutiliser le résultat précédent donc merci beaucoup j'en vais essayer de tout bien rédiger maintenant
bonjour,
pour répondre à ton mail
remarque que de g(n)+1 à g(n+1) tu as les mêmes images qui sont au nombre de f(n+1))et égales à n+1.
En fait cette somme est réduite à un seul terme (n+1)f(n+1)
plus clairement,puisque g(n) est le rang du dernier d'une série constante; par définition à partir de g(n)+1 commence une série constituée du même entier n+1 et g(n+1) est le rang du dernier de la série
d'où
ce qui termine la récurrence.
j'espère avoir été clair
Annuler
connectez vous
algèbre en post-bac