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Suite auxiliaire

Posté par
Albanmaths2
10-09-22 à 16:59

Bonjour, je fais un exercice sur l'utilisation d'une suite auxiliaire mais je bloque à un endroit voici l'énoncé :

Soit (Un) la suite définie par un+1=(5Un-1)/(Un+3) avec n appartenant à N.
u0=2
Un différent de 1
Soit (vn) la suite définie par vn=1/(un-1)
1) Montrer que la suite est arithmétique :


Je cherche donc à montrer que vn+1=vn+r
vn+1=1/un+1-1=1/(5un-1/un+3)-1=un+3/4un+4 (je n'ai pas mis toutes les étapes du développement)
mais je ne vois pas comment je pourrais retrouver vn à partir de là.

Merci par avance

Posté par
Albanmaths2
re : Suite auxiliaire 10-09-22 à 17:00

je n'ai pas mis les parenthèses pour la fin :
(un+3)/(4un+4)

Posté par
hekla
re : Suite auxiliaire 10-09-22 à 17:13

Bonjour

Terminez ce que vous avez commencé  

vous avez obtenu

v_{n+1}=\dfrac{u_n+3}{4u_n-4}

erreur de signe  

vous voulez montrer que v_{n+1}=v_n+r ou v_{n+1}-v_n = r

Posté par
Albanmaths2
re : Suite auxiliaire 11-09-22 à 14:14

Merci beaucoup effectivement j'ai mal recopié le signe donc
vn+1-vn=1/4 quand je développe, ainsi la suite est bien arithmétique vn=1+1/4n

Comment puis-je exprimer un à partir de là ?

Posté par
hekla
re : Suite auxiliaire 11-09-22 à 14:28

Ce que vous avez montré, c'est : v_{n+1}-v_n=\dfrac{1}{4}

c'est-à-dire que (v_n) est une suite arithmétique de raison \dfrac{1}{4}

Comme vous avez une relation entre v_n et u_n

vous pouvez écrire  u_n en fonction de v_n

v_n=\dfrac{1}{u_n-1}

Posté par
Albanmaths2
re : Suite auxiliaire 11-09-22 à 15:01

D'accord donc un=1/vn+1= (8+n)/(4+n) après développement.

Posté par
hekla
re : Suite auxiliaire 11-09-22 à 15:14

u_n= 1+\dfrac{1}{v_n} d'accord

u_n=1+\dfrac{1}{1+\dfrac{n}{4}}=\dfrac{8+n}{4+n}
d'accord

Posté par
Albanmaths2
re : Suite auxiliaire 17-09-22 à 11:32

Merci beaucoup pour votre aide

Posté par
hekla
re : Suite auxiliaire 17-09-22 à 12:06

De rien



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