exercice posté par malou pour Princedugame (et que je ne peux pas suivre)
La suite (un) est définie pour n 1 par : u_n=(1+1/n)^n
Le but de cet exercice est de déterminer la limite de cette suite.
Montrer que, pour tout réel x, on a : 1 + x e^x.
En déduire que si n 1, alors (1+1/n)^n e.
En posant X = -x, montrer que si X < 1, alors e^X 1/(1-X)
En déduire que si n 1, alors e (1+1/n)^(n+1)
En déduire que si n 1, alors 0 e - un 3/n.
En conclure que la limite de (1+1/n)^n vaut e
Montrer que, pour tout réel x, on a : 1 + x ? e^x , le point d'interrogation est une fate de frappe non?
Alors pour la question 1 j'ai étudié les variations de la fct -e^x +1 + x en dérivant j'ai montré que la fct est décroissante pour tout x > 1 elle admet donc un maximum en 1 qui est négative donc la fct est négative pour tout x>1 donc on a bien 1+x < e^x , c'est bon?
un peu confus mais c'est l'idée :
décroissante pour tout x > 0 elle admet donc un maximum en 0 qui vaut 0, elle est donc négative pour x >0 et donc on a bien 1+x < e^x
Oui pour tout x >0 , quel idiot je fais pour la 2 je n'arrive pas à faire marcher l'hérédité je bloque à l'étape ( 1+1/n)^n+1 < e fois 1+1/n je fais quoi maintenant ?
pas besoin de récurrence, fais simplement x = 1/n dans l'inégalité que l'on vient de te faire démontrer.
Alors à ce moment la j'obtiens ( 1+1/n)^n < e^(1/n)^n en remplaçant x par 1/n puis en élevant des deux cotés à la puissance n , comment je fais pour avoir e ?
Oups désolé, pour la prochaine question je bloque complètement et pour celle d'après je comprends pas on a démontrer le contraire dans les premières questions .
1/(1-x) 1/e^-x c'est juste (à condition d'avoir justifié qu'on a divisé par 1-x qui est positif puisque x < 1 et donc qu'on a pas à changer le sens de l'inéquation).
et maintenant 1/e-x = ex donc ça donne bien le 1/(1-x) ex demandé par l'énoncé, non ?
entêté ?
1+x e^x vrai pour tout x
on pose X = -x, ça donne 1-X e^(-X)
1-X 1/e^X on divise par 1-X les deux cotés qui est positif donc on ne change pas l'inégalité, et on multiplie par e^X les deux cotés, ça donne :
e^X 1/(1-X) qui est bien ce que l'énoncé demande.
Oh désolé je viens de comprendre que puisuqe X= -x i faut mettre un - devant X
Pour la prochaine question je remplace X par 1+1/n ?
Je ne comprends pas la question puisque à la question 2 on as démontrer cela n >1, alors (1+1/n)^n <e et mtn je dois démontrer que e <(1+1/n)^(n+1) n'y a t'il pas contradiction?
non pas de contradiction, les deux inégalités ne sont pas incompatibles. Au contraire, ça va nous permettre d'encadrer e.
Alors ? on remplace ce X par quoi ? un peu de créativité !
Alors je dirai que quand on a élever à la puissance n on as remplace par 1/n alors ici on remplace par 1/n+1 ?
Ah oui désolé , ducoup pour a prochaine question on reprendre l'encadrement de e puis on soustrait un à gauche on a 0 et à droite on a 1+1/n et maintenant faut trouver un moyen de faire apparaitre 3/n
oui ça commence par
e - (1+1/n)n (1+1/n)n+1 - (1+1/n)n ..... ?
factorise (1+1/n)n puis majore le par e, ....
En faisant ce que tu me dis j'obtiens
e - (1+1/n)n < (1+1/n)à la puissance n facteur de ( -1+( 1+1/n)) < e je vois pas comment continuer j'avais penser à essayé de majorer par 3/n mais ça marche pas
heu non tu dois montrer que c'est inférieur à 3/n, pas 3
quand tu en es à e-un (1+1/n)n/n
tu utilises (1+1/n)n e donc ça te donne
e-un e/n 3/n en majorant e par 3 (puisque e ~ 2,7)
il n'y a rien de mystérieux, qu'est-ce que tu ne comprends pas dans cette suite d'inégalités ?
e-un (1+1/n)n/n e/n < 3/n
on sait déjà que (1+1/n)n e, on l'a démontré à la question 2.
maintenant si A < BC et que B < D alors A < BD
on remplace B par une quantité plus grande, on majore forcement l'expression.
Bonjour désolé mais serai t'il possible que tu reprennes tout les calculs pour l'avant dernière question stp d'ailleurs pour la dernière question on utilise le théorème des gendarme pour montrer que e-un tends vers 0 et donc limite de un= e
l'avant dernière question ? je t'ai déjà fait tous les calculs détaillés.
As-tu fait la dernière question ?
En déduire que si n 1, alors 0 <e - un <3/n enfaite je parle de cette question les calculs sont un peu morceler sur plusieurs messages et je galère vraiment à comprendre le raisonnement . Pour ce qui est de la question En conclure que la limite de (1+1/n)^n vaut e mon raisonnement est on utilise le théorème des gendarme pour montrer que e-un tends vers 0 grâce à la question précédente et donc limite de un= e
ça tient en une ligne dans le message du 11-11-20 à 18:06, ça n'a rien de morcelé.
oui après, les gendarmes c'est bien, mais as-tu écris l'inégalité où l'on voit un coincé entre les deux gendarmes ?
On peut reprendre la question du début alors parce que j'arrive pas à la refaire seul. Bah je pensais utiliser les gendarmes sur e-un puis vu qu'on a lim de e-un=0 en déduis que lim de Un = e
il faut que tu utilises les inégalités démontées jusqu'à présent pour entourer Un de deux gendarmes qui convergent vers e.
regarde tout ce que tu as démontré jusqu'à maintenant, mets de l'ordre dans tes idées.
Merci beaucoup de ton aide d'ailleurs j'ai demandé à mon prof et l'exo non conventionnelle sera une suite Un don la somme des termes est égal au produit et il faudra étudier cette suite à travers plusieurs questions .
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