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suite avec exponentielle

Posté par
Princedugame
10-11-20 à 13:14

exercice posté par malou pour Princedugame (et que je ne peux pas suivre)

La suite (un) est définie pour n 1 par : u_n=(1+1/n)^n


Le but de cet exercice est de déterminer la limite de cette suite.
Montrer que, pour tout réel x, on a : 1 + x e^x.

En déduire que si n 1, alors (1+1/n)^n e.

En posant X = -x, montrer que si X < 1, alors e^X   1/(1-X)

En déduire que si n 1, alors e (1+1/n)^(n+1)

En déduire que si n 1, alors 0 e - un 3/n.

En conclure que la limite de (1+1/n)^n vaut e

Posté par
Princedugame
re : suite avec exponentielle 10-11-20 à 13:21

Montrer que, pour tout réel x, on a : 1 + x ? e^x , le point d'interrogation est une fate de frappe non?

Posté par
Zormuche
re : suite avec exponentielle 10-11-20 à 13:48

Bonsoir, ça doit être une mauvaise conversion des symboles, ce qu'il faut montrer est  1+x\le e^x

Posté par
Glapion Moderateur
re : suite avec exponentielle 10-11-20 à 13:48

salut, oui il faut lire 1+x ex

Posté par
malou Webmaster
re : suite avec exponentielle 10-11-20 à 13:50

voilà, je crois que c'est réparé

Posté par
Princedugame
re : suite avec exponentielle 10-11-20 à 14:09

Alors pour la question 1 j'ai étudié les variations de la fct  -e^x +1 + x en dérivant j'ai montré que la fct est décroissante pour tout x > 1 elle admet donc un maximum en  1 qui est négative donc la fct est négative pour tout x>1 donc on a bien 1+x < e^x , c'est bon?

Posté par
Glapion Moderateur
re : suite avec exponentielle 10-11-20 à 14:38

un peu confus mais c'est l'idée :
décroissante pour tout x > 0 elle admet donc un maximum en 0 qui vaut 0, elle est donc négative pour x >0 et donc on a bien 1+x < e^x

Posté par
Princedugame
re : suite avec exponentielle 10-11-20 à 15:04

Oui pour tout x >0 , quel idiot je fais pour la 2 je n'arrive pas à faire marcher l'hérédité je bloque à l'étape  ( 1+1/n)^n+1 <  e fois 1+1/n je fais quoi maintenant  ?

Posté par
Glapion Moderateur
re : suite avec exponentielle 10-11-20 à 15:49

pas besoin de récurrence, fais simplement x = 1/n dans l'inégalité que l'on vient de te faire démontrer.

Posté par
Princedugame
re : suite avec exponentielle 10-11-20 à 16:14

Alors à ce moment la j'obtiens ( 1+1/n)^n < e^(1/n)^n en remplaçant x par 1/n puis en élevant des deux cotés à la puissance n , comment je fais pour avoir e ?

Posté par
Glapion Moderateur
re : suite avec exponentielle 10-11-20 à 16:37

que vaut e^(1/n)^n ?
tu ne te souviens pas de la formule (an)m=anm ?

Posté par
Princedugame
re : suite avec exponentielle 10-11-20 à 17:01

Oups désolé, pour la prochaine question je bloque complètement et pour celle d'après je comprends pas on a démontrer le contraire dans les premières questions .

Posté par
Glapion Moderateur
re : suite avec exponentielle 10-11-20 à 18:09

toujours le même principe, tu transformes x en -x dans l'inégalité 1 + x e^x

Posté par
Princedugame
re : suite avec exponentielle 10-11-20 à 18:19

Oui mais j'obtiens 1-x < e^-x donc 1/1-x > 1/e^-x donc 1-x> e^x  alors que je veux
e^-x< 1-x

Posté par
Glapion Moderateur
re : suite avec exponentielle 10-11-20 à 18:42

1/(1-x) 1/e^-x c'est juste (à condition d'avoir justifié qu'on a divisé par 1-x qui est positif puisque x < 1 et donc qu'on a pas à changer le sens de l'inéquation).

et maintenant 1/e-x = ex donc ça donne bien le 1/(1-x) ex demandé par l'énoncé, non ?

Posté par
Princedugame
re : suite avec exponentielle 10-11-20 à 19:06

Glapion @ 10-11-2020 à 18:42

1/(1-x)   1/e^-x c'est juste (à condition d'avoir justifié qu'on a divisé par 1-x qui est positif puisque x < 1 et donc qu'on a pas à changer le sens de l'inéquation).

et maintenant 1/e-x = ex donc ça donne bien le  1/(1-x)   ex demandé par l'énoncé, non ?

Justement non c'est pas e^x mais e^-x puisque X= e^x

Posté par
Princedugame
re : suite avec exponentielle 10-11-20 à 19:06

X= -x et pas e^-x

Posté par
Glapion Moderateur
re : suite avec exponentielle 10-11-20 à 20:20

Citation :
X= -x et pas e^-x

oui c'est bien ce qu'on a fait.

Posté par
Princedugame
re : suite avec exponentielle 10-11-20 à 20:40

Glapion @ 10-11-2020 à 18:42

1/(1-x)   1/e^-x c'est juste (à condition d'avoir justifié qu'on a divisé par 1-x qui est positif puisque x < 1 et donc qu'on a pas à changer le sens de l'inéquation).

et maintenant 1/e-x = ex donc ça donne bien le  1/(1-x)   ex demandé par l'énoncé, non ?


Non regarde on a montré que e^x < 1/1+x  alors que l'on veut e^-x < 1/1+x l'exposant de l'exponentielle n'est pas du bon signe

Posté par
Glapion Moderateur
re : suite avec exponentielle 10-11-20 à 22:23

entêté ?

1+x e^x vrai pour tout x
on pose X = -x, ça donne 1-X e^(-X)
1-X 1/e^X on divise par 1-X les deux cotés qui est positif donc on ne change pas l'inégalité, et on multiplie par e^X les deux cotés, ça donne :
e^X 1/(1-X) qui est bien ce que l'énoncé demande.

Posté par
Princedugame
re : suite avec exponentielle 11-11-20 à 00:25

Oh désolé je viens de comprendre que puisuqe X= -x i faut mettre un - devant X
Pour la prochaine question je remplace X par 1+1/n ?

Posté par
Glapion Moderateur
re : suite avec exponentielle 11-11-20 à 10:13

Citation :
Pour la prochaine question je remplace X par 1+1/n

non, n'oublie pas que X < 1

trouve une autre façon de remplacer X dans e^X 1/(1-X) de façon à arriver sur l'inégalité demandée ?

Posté par
Princedugame
re : suite avec exponentielle 11-11-20 à 10:20

Je ne comprends pas la question puisque à la question 2 on as démontrer cela n >1, alors (1+1/n)^n <e  et mtn je dois démontrer que e <(1+1/n)^(n+1) n'y a t'il pas contradiction?

Posté par
Glapion Moderateur
re : suite avec exponentielle 11-11-20 à 11:18

non pas de contradiction, les deux inégalités ne sont pas incompatibles. Au contraire, ça va nous permettre d'encadrer e.

Alors ? on remplace ce X par quoi ? un peu de créativité !

Posté par
Princedugame
re : suite avec exponentielle 11-11-20 à 11:52

Alors je dirai que quand on a élever à la puissance n on as remplace par 1/n alors ici on remplace par 1/n+1 ?

Posté par
Glapion Moderateur
re : suite avec exponentielle 11-11-20 à 11:53

oui c'est ça. tu as trouvé l'inégalité demandée ?

Posté par
Princedugame
re : suite avec exponentielle 11-11-20 à 12:00

A gauche oui mais à droite j'obtiens n+1/n le tout à la puissance n+1

Posté par
Glapion Moderateur
re : suite avec exponentielle 11-11-20 à 12:04

Ben justement, (n+1)/n = 1 + 1/n
(toujours fâché avec les parenthèses )

Posté par
Princedugame
re : suite avec exponentielle 11-11-20 à 12:13

Ah oui  désolé ,  ducoup pour a prochaine question on reprendre l'encadrement de e puis on soustrait un à gauche on a 0 et à droite on a 1+1/n et maintenant faut trouver un moyen de faire apparaitre 3/n

Posté par
Glapion Moderateur
re : suite avec exponentielle 11-11-20 à 12:17

oui ça commence par
e - (1+1/n)n (1+1/n)n+1 - (1+1/n)n ..... ?

factorise (1+1/n)n puis majore le par e, ....

Posté par
Princedugame
re : suite avec exponentielle 11-11-20 à 12:58

En faisant ce que tu me dis j'obtiens  
e - (1+1/n)n  < (1+1/n)à la puissance n facteur de ( -1+( 1+1/n)) < e je vois pas comment continuer j'avais penser à essayé de majorer par 3/n mais ça marche pas

Posté par
Glapion Moderateur
re : suite avec exponentielle 11-11-20 à 13:02

simplifie -1+( 1+1/n), majore (1+1/n)n par e puis e par 3

Posté par
Princedugame
re : suite avec exponentielle 11-11-20 à 17:29

Je dois  arriver à:
e - (1+1/n)n  < (1+1/n)à la puissance n facteur de 1/n < e<3
est ce bon?

Posté par
Glapion Moderateur
re : suite avec exponentielle 11-11-20 à 17:37

heu non tu dois montrer que c'est inférieur à 3/n, pas 3

quand tu en es à e-un (1+1/n)n/n
tu utilises (1+1/n)n e donc ça te donne
e-un e/n 3/n en majorant e par 3 (puisque e ~ 2,7)

Posté par
Princedugame
re : suite avec exponentielle 11-11-20 à 17:48

désolé mais je ne comprends pas comment tu utilises le fait que (1+1/n)n <e pour avoir e-un <e/n

Posté par
Glapion Moderateur
re : suite avec exponentielle 11-11-20 à 18:06

il n'y a rien de mystérieux, qu'est-ce que tu ne comprends pas dans cette suite d'inégalités ?

e-un (1+1/n)n/n e/n < 3/n

Posté par
Princedugame
re : suite avec exponentielle 11-11-20 à 18:35

Comment t'obtiens ça (1+1/n)n/n <e/n ?

Posté par
Glapion Moderateur
re : suite avec exponentielle 11-11-20 à 20:02

on sait déjà que (1+1/n)n e, on l'a démontré à la question 2.

maintenant si A < BC et que B < D alors A < BD
on remplace B par une quantité plus grande, on majore forcement l'expression.

Posté par
Princedugame
re : suite avec exponentielle 12-11-20 à 14:47

Bonjour désolé mais serai t'il possible que tu reprennes tout les calculs pour l'avant dernière question stp d'ailleurs pour la dernière question on utilise le théorème des gendarme pour montrer que e-un tends vers 0 et donc limite de un= e

Posté par
Glapion Moderateur
re : suite avec exponentielle 12-11-20 à 16:20

l'avant dernière question ? je t'ai déjà fait tous les calculs détaillés.

As-tu fait la dernière question ?

Posté par
Princedugame
re : suite avec exponentielle 12-11-20 à 17:05

En déduire que si n  1, alors 0 <e - un <3/n enfaite je parle de cette question les calculs sont un peu morceler sur plusieurs messages et je galère vraiment à comprendre le raisonnement  .  Pour ce qui est de la question En conclure que la limite de (1+1/n)^n vaut e mon raisonnement est on utilise le théorème des gendarme pour montrer que e-un tends vers 0 grâce à la question précédente  et donc limite de un= e

Posté par
Glapion Moderateur
re : suite avec exponentielle 12-11-20 à 17:25

ça tient en une ligne dans le message du 11-11-20 à 18:06, ça n'a rien de morcelé.

oui après, les gendarmes c'est bien, mais as-tu écris l'inégalité où l'on voit un coincé entre les deux gendarmes ?

Posté par
Princedugame
re : suite avec exponentielle 12-11-20 à 18:29

On peut reprendre la question du début alors parce que j'arrive pas à la refaire seul.  Bah je pensais utiliser les gendarmes sur e-un puis vu qu'on a lim de e-un=0 en déduis que lim de Un = e

Posté par
Glapion Moderateur
re : suite avec exponentielle 12-11-20 à 22:37

il faut que tu utilises les inégalités démontées jusqu'à présent pour entourer Un de deux gendarmes qui convergent vers e.
regarde tout ce que tu as démontré jusqu'à maintenant, mets de l'ordre dans tes idées.

Posté par
Princedugame
re : suite avec exponentielle 13-11-20 à 17:22

salut , j'ai enfin compris merci et pour la dernière question j'ai bon?

Posté par
Glapion Moderateur
re : suite avec exponentielle 13-11-20 à 19:51

Citation :
et pour la dernière question j'ai bon?


je ne sais pas, tu écris quoi exactement pour encadrer un entre les deux gendarmes ?

Posté par
Princedugame
re : suite avec exponentielle 14-11-20 à 10:24

j'écris  0< e-un< 3/n donc e-un tend vers 0 ainsi limite de Un = e

Posté par
Glapion Moderateur
re : suite avec exponentielle 14-11-20 à 10:48

OK

Posté par
Princedugame
re : suite avec exponentielle 14-11-20 à 12:10

Merci beaucoup de ton aide d'ailleurs j'ai demandé à mon prof et l'exo non conventionnelle sera une suite Un don la somme des termes est égal au produit et il faudra étudier cette suite à travers plusieurs questions .

Posté par
Glapion Moderateur
re : suite avec exponentielle 14-11-20 à 12:51

Bonne continuation . si tu veux de l'aide pour ton nouvel exo, crée un nouveau topic.



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